Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :

Je vais prendre exemple sur Samuel et vous proposer une petite énigme
trouvée sur une chaine youtube (celle de SyberMath). Là aussi, evitez
de tricher, je vous donne toutes les astuces nécessaires.
 
Attention, article à voir avec une police à espacement fixe.
 
 
Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
 
| (x+y)(1-xy)  |   1
|−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
| (1+x²)(1+y²) |   2
 
 
Astuces (en ROT-13 pour ceux qui veulent chercher sans aide) :
- cbfre k = gna(n) rg l = gna(o)
- fr enccryre dhr :
  - gna(n) = fva(n)/pbf(n)
  - pbf(n+o) = pbf(n)pbf(o) - fva(n)fva(o)
  - fva(n+o) = fva(n)pbf(o) + pbf(n)fva(o)
  - q'bù fva(2n) = 2fva(n)pbf(n)
  - pbf(n)² + fva(n)² = 1
 

J'ai ça sans liire le rot 13:
u = x+ y   v = xy

f(u,v) = u(1-v)/ (1+ u² -2v + v²)

[1 +x²+y² +x²y² = 1 +(x+y)² -2xy + x²y²}

f(u,v) = (u-uv)/(u² +(1-v)² )

on pose w= 1-v

f(u,w) = uw/(u²+w²)

et encore  w = zu   f(z,u)= zu²/(u² +u²z²)= z/(1+z²)

fonction qui ne dépend plus que de z dont la dérivée en z
( 1+z² -2.z.z) /(1+z²)²= (1-z²)/(1+z²)²re

négative pour |z| > 1 nulle pour |z|=1

f(z) = z/(1+z²) vaut 0 à +/- l'infini, décroit

jusqu'à -1/2 pour z=-1 croit de -1/2 à +1/2 pour z=1

et décroit vers zéro pouz z= +infini.

C'est du genre terminale (scientifique quand même,

j'ai eu moi-même une fraction rationnelle à étudier

au bac "math élem" au millénaire dernier). Suppose

 une certaine agilité de calcul.

Evidemment on peut poser directement

z= (1-xy)/(x+y) c'est encore plus élégant, il faut le

voir. La simplification par u= x+y suppose u non nul.

Si c'est le cas y=-x et f(x,y) = 0 correspondant

à z= 0 et z infini.





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Quand on veut tuer son chien ces temps-ci, on dit qu'il est une fraction
rationnelle.