Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 20/08/2021 à 12:49, MAIxxxx a écrit :

 
J'ai ça sans liire le rot 13:
u = x+ y   v = xy

Ça, c'est typiquement le genre de substitution que pourrait faire
SyberMath !

f(u,v) = u(1-v)/ (1+ u² -2v + v²)
 
[1 +x²+y² +x²y² = 1 +(x+y)² -2xy + x²y²}
 
f(u,v) = (u-uv)/(u² +(1-v)² )

Oui.

 
on pose w= 1-v
 
f(u,w) = uw/(u²+w²)
 
et encore  w = zu   f(z,u)= zu²/(u² +u²z²)= z/(1+z²)

Excellent ! Noter que c'est au signe près la fonction que Samuel
trouve pour y quand il fait tendre x vers ±infini.

 
fonction qui ne dépend plus que de z dont la dérivée en z
( 1+z² -2.z.z) /(1+z²)²= (1-z²)/(1+z²)²
 
négative pour |z| > 1 nulle pour |z|=1
 
f(z) = z/(1+z²) vaut 0 à +/- l'infini, décroit
 
jusqu'à -1/2 pour z=-1 croit de -1/2 à +1/2 pour z=1
 
et décroit vers zéro pouz z= +infini.

Bravo. C'est une très bonne méthode, et qui ne nécessite pas de passer
par les fonctions trigonométriques.

 
C'est du genre terminale (scientifique quand même,
 
j'ai eu moi-même une fraction rationnelle à étudier
 
au bac "math élem" au millénaire dernier). Suppose
 
 une certaine agilité de calcul.
 
Evidemment on peut poser directement
 
z= (1-xy)/(x+y) c'est encore plus élégant, il faut le
 
voir. La simplification par u= x+y suppose u non nul.
 
Si c'est le cas y=-x et f(x,y) = 0 correspondant
 
à z= 0 et z infini.

Cordialement,
--
Olivier Miakinen