Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :

Je vais prendre exemple sur Samuel et vous proposer une petite énigme
trouvée sur une chaine youtube (celle de SyberMath). Là aussi, evitez
de tricher, je vous donne toutes les astuces nécessaires.
 
Attention, article à voir avec une police à espacement fixe.
 
 
Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
 
| (x+y)(1-xy)  |   1
|−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
| (1+x²)(1+y²) |   2

Plutôt que vous renvoyer vers la vidéo en anglais, je vous en propose
un résumé en français.

L'idée de SybarMath est de remplacer x par tan(a)=sin(a)/cos(a) et y par
tan(b)=sin(b)/cos(b). Quels que soient x et y, un tel remplacement est
toujours possible, avec cos(a) et cos(b) non nuls.

On calcule alors chacun des quatre facteurs (x+y), (1-xy), (1+x²) et
(1+y²) en fonction de a et b.

(x+y) = tan(a) + tan(b)
 = sin(a)/cos(a) + sin(b)/cos(b)
 = (sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a))/(cos(a)cos(b))
 = sin(a+b)/(cos(a)cos(b))

(1-xy) = 1 - tan(a)tan(b)
 = 1 - sin(a)sin(b)/(cos(a)cos(b))
 = (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))/(cos(a)cos(b))
 = cos(a+b)/(cos(a)cos(b))

(x+y)(1-xy) = sin(a+b)cos(a+b)/(cos(a)²cos(b)²)

(1+x²) = 1 + tan(a)²
 = 1 + sin(a)²/cos(a)²
 = (cos(a)² + sin(a)²)/cos(a)²
 = 1/cos(a)²

1/(1+x²) = cos(a)²

1/(1+y²) = cos(b)²

(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
 = sin(a+b)cos(a+b)/(cos(a)²cos(b)²) × cos(a)²cos(b)²
 = sin(a+b)cos(a+b)

Or sin(2u) = 2sin(u)cos(u), donc :

(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
 = sin(a+b)cos(a+b)
 = (1/2) (2sin(a+b)cos(a+b)
 = (1/2) sin(2(a+b))

Puisque un sin() est toujours compris entre -1 et +1, l'expression
(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²)) est comprise entre -1/2 et 1/2, donc sa
valeur absolue est ≤ 1/2.


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Olivier Miakinen