Calcul de déterminant (was: Prouver une inégalité pour tout x et y)

Bonjour,

Vu que je ne serai certainement pas le seul à vouloir chercher (et que
je ne suis pas sûr de trouver), je me permets de remettre un nouveau
titre afin que toutes les réponses partent de ce nouvel article.

Le 21/08/2021 à 16:10, Michel Talon a écrit :

 
[...] pour amusement je vais te communiquer un exo que j'ai vu
personnellement poser au petit oral, et qui m'a particulièrement
posé problème:  calculer le déterminant de:
 
| 1 a a^2 a^3 ... a^7 |
| 1 b b^2 b^3 ... b^7 |
| 1 c c^2 c^3 ... c^7 |
| 0 1 2a 3a^2 ... 7a^6|
| 0 1 2b 3b^2 ... 7b^6|
| 0 1 2c 3c^2 ... 7c^6|
| 0 0 2  6a  ... 42a^5|
| 0 0 2  6b  ... 42b^5|
 
Evidemment maxima te donnera le résultat de suite:
M:matrix(    [1,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7],
              [1,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7],
              [1,c,c^2,c^3,c^4,c^5,c^6,c^7],
              [0,1,2*a,3*a^2,4*a^3,5*a^4,6*a^5,7*a^6],
              [0,1,2*b,3*b^2,4*b^3,5*b^4,6*b^5,7*b^6],
              [0,1,2*c,3*c^2,4*c^3,5*c^4,6*c^5,7*c^6],
              [0,0,2,6*a,12*a^2,20*a^3,30*a^4,42*a^5],
              [0,0,2,6*b,12*b^2,20*b^3,30*b^4,42*b^5]);
 
factor(determinant(M));
 
-4*(b-a)^9*(c-a)^6*(c-b)^6
 
Mais comment justifier cela ?

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Olivier Miakinen