Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 22/08/2021 à 13:11, Samuel DEVULDER a écrit :

Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au tableau. Un peu moins en ascii-art:
 Soit une matrice carrée A = (Aij)  où les Aij sont des fonctions de x (je n'écris pas Aij(x) pour alléger l'écriture). Montrons que
      Det(A) = Somme Det[ A'k ]
 où     A'k = (A11 ...  A1n)
           ( :        : )
                  (Ak1' .. Akn')
           ( :        : )
           (An1 ... Ann )
(A'k = A mais avec la ligne k remplacée par la dérivée).

Oh m.... les TAB ont foirés la mise en page :(
Je refais:
Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au tableau. Un peu moins en ascii-art:
Soit une matrice carrée A = (Aij)  où les Aij sont des fonctions de x (je n'écris pas Aij(x) pour alléger l'écriture). Montrons que
     Det(A) = Somme Det[ A'k ]
où  A'k = (A11 ...  A1n)
           ( :        : )
           (Ak1' .. Akn')
           ( :        : )
           (An1 ... Ann )
(A'k = A mais avec la ligne k remplacée par la dérivée).
On procède par récurrence sur la taille n de la matrice A. Le cas de départ est trivial, je ne m'étends pas dessus. Regardons le cas pour B(x) de taille n+1.
Développons Det(B) suivant la 1ere ligne:
     Det(B) = B11 Det(com11 B) + .. + B1n+1 Det(com1n+1)
où com_ij B est la comatrice en i,j.
Dérivons par rapport à x:
     Det(B)' = B11' Det(com11 B)  + .. + B1n+1' Det(com1n+1 B)
             + B11  Det(com11 B)' + .. + B1n+1  Det(com1n+1 B)'
On voit facilement que la 1ère ligne de cette somme est en fait
          ( B11' ......... B1n+1'   )
     Det  (  B21 ......... B2n+1    ) = Det(B'1)
          (    :                :   )
          (  B(n+1)1 .. B(n+1)(n+1) )
Remarquons ensuite que com1j B est une matrice de taille n, donc
on peut appliquer la récurrence sur elle et on obtient
     Det(com1j B)' = Somme Det[ (com1j B)'k ]
Donc
     Det(B)' = Det(B'1)
             + B11   [ Det (com11 B)'1   + ... + Det (com11 B)'n   ]
             + B12   [ Det (com12 B)'1   + ... + Det (com12 B)'n   ]
             +  :         :                             :
             + B1n+1 [ Det (com1n+1 B)'1 + ... + Det (com1n+1 B)'n ]
On distribue les B1j:
             = Det(B'1)
             + B11   Det (com11 B)'1   + ... + B11 Det (com11 B)'n
             + B12   Det (com12 B)'1   + ... + B12 Det (com12 B)'n
             +  :       :                          :
             + B1n+1 Det (com1n+1 B)'1 + ... + B1n+1 Det (com1n+1 B)'n
Or si on lit la "grosse somme" par "colonne" on a:
     B11 Det(comm11 B)'1 + B12 Det(com12 B)'1 + .. B1n+1 Det(com1n+1 B)'1
qui est juste le développement suivant la 1ère ligne de :
         (B11  B12   ... B1n+1   )
     Det (B21' B22'  ... B2n+1'  )
         ( :    :          :     )
         (Bn+1,1 ....... Bn+1,n+1)
=par def= Det(B'2)
Idem pour toutes les colonnes de 3 à n+1.
Bref,
     Det(B)' = Det(B'1) + .. Det(B'n+1),
ce qui clos la démonstration hyper générale. Comme Det(A) = Det tr(A) (la transposée ne change pas le déterminant), on a la même propriété en dérivant les colonnes son on préfère.
sam.