Re: De la religiosité en mathématique

Le 12/09/2021 à 12:47, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 12/09/2021 à 09:47, pehache a écrit :
 

ok mais non... Pourquoi a=o(b) ? a n'a aucune raison d'être "petit" par rapport à b ici.

 Oui, mais c'était mon exemple pour simplifier. On ne va pas rentrer dans des o() avec des variables multiples pour Richard qui a déjà du mal à concevoir ce que "+o()" signifie.

Oui, mais oublions l'OP :-)

 

Ici j'écrirais plutôt qu'on a une fonction à deux variables S(A,B)=AB (surface du rectangle), et (..) > S(A+a,B+b) = B.a + A.b + o( ||(a,b|| )
>

 Hmm moi j'aurais plutôt tendance à écrire
   S(A+a,B+b) = S(A,B) + a.B + b.A + o(a+b)
                                    ^= a.b
 car a.b est négligeable devant a et devant b, en fait devant celui qui converge le moins vite vers 0 ce que pourrait signifier négligeable devant ||max(|a|,|b|)||. Mais comme les normes sont équivalentes, cela veut aussi dire que a.b. est négligeable aussi devant ||(a,b)||, ce qui légitime ta notation en effet.
 

La notation o(.) fonctionne pareil pour les vecteurs, à priori.

 J'ai jamais croisé un o() sur des normes des vecteurs, mais la notation grand-O(x+y) existe (https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique#Fonction_%C3%A0_plusieurs_variables). Je la généraliserais aux petit-o de la même façon.

Note quand dans le lien que tu donnes il s'agit d'entiers naturels et de comportement à l'infini. Du coup n+m pourrait être interprété comme la norme L1 du vecteur (n,m).
Dans le cas de réels et surtout de comportements en zéro, a+b est plus ambigu, notamment parce a+b peut s'annuler.
f(a,b) = o(a+b) voudrait dire quelque chose du genre
lim (f(a,b)/(a+b)) = 0 qd (a+b)-->0
donc quel que soit eps il existe V /
    quels que soient a,b < V on a |f(a,b)/(a+b)| <= eps
...petit problème là où a+b=0
--
"...sois ouvert aux idées des autres pour peu qu'elles aillent dans le
même sens que les tiennes.", ST sur fr.bio.medecine