Re: Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers

Le 14/09/2021 à 18:11, Olivier Miakinen a écrit :

Le 14/09/2021 17:00, ast a écrit :

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Selon cette page wikipédia
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https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers#Formules_exactes_simples
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il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non
constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les
entiers n, ou même pour presque tous les n
>
une idée de la démo ?

 Une preuve donnée il y a quatre jours par Michael Penn :
<https://www.youtube.com/watch?v=SyrJD1zZwmQ&t=709s>.
 En résumé, soit p = P(1) le nombre premier obtenu en calculant P(n) pour n = 1,
alors il prouve que quel que soit m entier la valeur P(1 + m.p) est un multiple
de p, nombre qui doit donc être égal à p si on suppose que tout P(n) est un
nombre premier.
 Ce polynôme donne une infinité de valeurs égales à p, par conséquent ça ne peut
être qu'un polynôme constant.
 

Bonjour,
Je ne comprend pas pourquoi il limite son polynôme à F(X)
sum{k=1..n;a_k.X^k}
Rien n'interdit dans l'hypothèse de départ,
de commencer à k = 0...
L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
(0 est compris)
Et donc ... on peut faire plus simple :
posons F(0) = p (qui est donc premier)
  F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n
soit m un entier
  F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n
F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
donc F(m.p) = p pour tout entier m
(puisqu'il doit aussi être premier)
La conclusion est immédiate :
l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
F est constant.
Amicalement,
HB