Re: Dans un demi-cercle

Le 17/01/2022 à 20:32, nobody@com.invalid a écrit :

Le 16/01/2022 à 19:05, HB a écrit :

Bonsoir,
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Puisque les affaires reprennent (avec le fil "Pythagore"),
je propose un sujet (dont j'ignore la solution).
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Pb : B et C sont sur un demi cercle de centre O,
     de rayon R et de diamètre [AD].
     (A, B , C et D dans cet ordre)
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      Notons a, b et c les trois cordes [AB], [BC] et [CD].
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     On cherche les cas où a, b, c et R sont entiers.
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 J'appelle [AB] le diamètre du 1/2 cercle (longueur = 2r)
B et C sont sur le 1/2 cercle de telle sorte que A, B, C et d soient dans cet ordre.
Je pose a = AB, b = BC, c = CD.
 D'après le théorème de Ptolémée, ABCD est inscrit dans le 1/2 cercle est équivalent à
     AC.BD = AB.CD + BC.AD
 ce qui donne, en tenant compte que ABD et ACD sont des triangles rectangles en B et D :
     sqrt(4r^2-c^2).sqrt(4r^2-a^2) = ac + 2rb
 En élevant au carré, on a
     (4r^2 - c^2)(4r^2 - a^2) = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
     16r^4 - 4a^2r^2 - 4c^2r^2 + a^2c^2 = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
 On obtient après des opérations élémentaires que
     4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc
 

Et donc, finalement,
cela aboutit à la relation proposée aussi par Michel Talon
4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc
avec r, a, b et c entiers.
En revanche, je ne suis pas certain que ce soit une CNS.
Je vais, de mon côté, regarder ça...
A+
HB