Re: Dans un demi-cercle

Le 17/01/2022 20:32, nobody@com.invalid a écrit :

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Puisque les affaires reprennent (avec le fil "Pythagore"),
je propose un sujet (dont j'ignore la solution).
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Pb : B et C sont sur un demi cercle de centre O,
     de rayon R et de diamètre [AD].
     (A, B , C et D dans cet ordre)
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      Notons a, b et c les trois cordes [AB], [BC] et [CD].
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     On cherche les cas où a, b, c et R sont entiers.
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J'appelle [AB] le diamètre du 1/2 cercle (longueur = 2r)
B et C sont sur le 1/2 cercle de telle sorte que A, B, C et d soient
dans cet ordre.
Je pose a = AB, b = BC, c = CD.
 
D'après le théorème de Ptolémée, ABCD est inscrit dans le 1/2 cercle est
équivalent à
 
    AC.BD = AB.CD + BC.AD

Excellent !

Je ne connais ce théorème que depuis peu, et le théorème de Pythagore en
est un cas particulier lorsque le quadrilatère est un rectangle.

ce qui donne, en tenant compte que ABD et ACD sont des triangles
rectangles en B et D :
 
    sqrt(4r^2-c^2).sqrt(4r^2-a^2) = ac + 2rb
 
En élevant au carré, on a
 
    (4r^2 - c^2)(4r^2 - a^2) = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
 
    16r^4 - 4a^2r^2 - 4c^2r^2 + a^2c^2 = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
 
On obtient après des opérations élémentaires que
 
    4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc

Oui, très joli.

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Olivier Miakinen