Re: Dans un demi-cercle

Le 17/01/2022 à 19:23, Michel Talon a écrit :

En divisant par r^3 je pense qu'il revient au même de chercher des solutions rationnelles de a^2+b^2+c^2+abc-4=0 Si on fixe a et b rationnels, c est donné par une équation du second degré dont la solution est en général irrationnelle, sauf si le discriminant est un carré parfait, d'où relation entre a et b, etc.

En fait cette méthode permet de trouver des solutions (toutes?). En effet le discriminant se factorise!  (noter que a,b,c sont entre 0 et 2)
Delta = (ab)^2-4(a^2+b^2-4) = (4-a^2)(4-b^2)
et une possibilité est que 4-a^2 et 4-b^2 sont des carrés parfaits dans Q. Mais la solution de ceci est bien connue (solution de x^2+y^2=z^2 dans N) soit a = 2 (m^2 -n^2)/(m^2+n^2) avec m,n entiers et donc
4-a^2 = 16 m^2n^2/(m+n)^2 Solution similaire pour b, on en tire c, il faut voir si c est entre 0 et 2. D'autres solutions par permutation de a,b,c. Analyser le cas où le carré se forme grâce à une interaction entre 4-a^2 et 4-b^2 est plus compliqué mais peut être tombe dans une permutation ci-dessus.
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Michel Talon