Re: équation

Le 04/04/2022 à 14:48, Richard Hachel a écrit :

Peut-on donner la réciproque de cette équation de façon simplifiée?
 
t=(v/g)(1-v²/c²)^3/2
 
v= ?

Si Joe Cool sait le faire, tout le monde peut le faire.

(Non, je rigole ! Humour ! Humour !)

Avez-vous seulement essayé de tracer votre courbe dans un outil
graphique pour avoir une vue d'ensemble ? Vous auriez dû.

Non, on ne peut pas donner la réciproque de cette équation puisqu'elle
n'existe pas: elle n'est pas unique, même sur les réels positifs.

Supposons que les domaines de t et de v soient inclus dans les réels
positifs. Les carrés t² et v² sont alors des bijections.

Posons x = (gt/c)² et y = 1-v²/c².

On a x = (1-y)y³.

L'analyse variationnelle de la fonction x(y) montre que:
- x s'annule en deux points x(0) = 0 et x(1) = 0 ;
- x a un maximum en x(3/4) = 27/256 ;
- x est strictement croissante sur [0;27/256[ ;
- x est strictement décroissante sur ]27/256;1].

En revenant aux variables t et v, on obtient deux fonctions bijectives:
- une pour v dans [0;c/2] et t dans [0;sqrt(27)c/(16g)], avec v(t)
croissante ;
- une pour v dans [c/2;1] et t dans [0;sqrt(27)c/(16g)], avec v(t)
décroissante.

Pour avoir la formulation algébrique de v(t), qui existe, vous pouvez
utiliser la méthode de Ferrari sur le polynôme y^4-y^3+x. Vous
obtiendrez une grosse formule inutile et compliquée.

--
Joe Cool