Re: fonctions

Le 19/05/2022 à 15:18, Julien Arlandis a écrit :

Le 19/05/2022 à 11:36, HB a écrit :

Bonjour,
>
J'aimerais trouver une solution "la moins compliquée possible"
au pb suivant :
>
N est un entier naturel donné
  - N > 1
-  N n'est pas très grand  (3 à 10, probablement)
>
Je voudrais disposer de N fonctions continues définies sur [0 1]
les plus "aléatoires" possibles telles que
- les valeurs sont positives
- la somme est égale à 1
>
J'ai de vagues idées mais, pour le moment, c'est assez confus...
>
Toute idée sera appréciée.
>
Amicalement,
>
Hubert.

 Soient 3 fonctions f1, g1, h1 sur [0 1] continues et bornées dans [0 1].
On recherche une application T : u -> v telle que u et v sont elles aussi continues et bornées dans [0 1].
T(f1) = f2
T(g1) = g2
T(h1) = h2
avec
f2(x) + g2(x) + h2(x) = 1
 C'est bien ça ?

Avec N = 3 oui.
En fait, il suffit de chercher T continue (et à valeurs positives) puisque par composition f2, g2 et h2 le seront.
Je ne suis pas sûr, en revanche, que la nouvelle condition
     f2 + g2 + h2 ≡ 1
soit plus simple à gérer que
     f1 + g1 + h1 ≡ 1
Par ailleurs (en restant avec N = 3), il y a une solution simple :
En supposant que f1, g1 et h2 le permettent (somme jamais nulle)
on peut poser S ≡ f1 + g1 + h1
puis
f2 ≡ f1/S ;  g2 ≡ g1/S ;  h2 ≡ h1/S.
====================================================================
et donc :
====================================================================
Retour au cas général avec n fonctions :
If faut donc engendrer de façon aléatoire
(avec la plus grande liberté possible)
f_1, f_2, f_3, ...., f_n à valeurs positives et définies sur [0 1]
On impose en plus que f_1 est à valeurs strictement positives.
On définit alors S ≡  f_1 + f_2 + f_3 + .... + f_n
Et, ensuite, les fonctions g_i conviendront
avec    g_i ≡ f_i / S
Reste à savoir comment "engendrer" les f_i.
Dans un premier temps,
je pourrais me faire une _grande_ bibliothèque
de fonctions positives définies dans [0 1]
en mettant à part celles qui sont strictement positives
puis tirer les f_i au hasard là dedans...
Il peut y avoir aussi des choses avec un paramètre libre
du type x -> x^r avec r réel non-nul.
Mais en fait, Il y a une contrainte en plus :
J'aimerais que ces fonctions ne soient pas monotones sur [0 1].
OUPS ! J'avais oublié de le préciser !!!
... à suivre ...
Amicalement,
HB