Re: fonctions

Le 19/05/2022 à 17:19, HB a écrit :

Le 19/05/2022 à 15:18, Julien Arlandis a écrit :

Le 19/05/2022 à 11:36, HB a écrit :

Bonjour,
>
J'aimerais trouver une solution "la moins compliquée possible"
au pb suivant :
>
N est un entier naturel donné
  - N > 1
-  N n'est pas très grand  (3 à 10, probablement)
>
Je voudrais disposer de N fonctions continues définies sur [0 1]
les plus "aléatoires" possibles telles que
- les valeurs sont positives
- la somme est égale à 1
>
J'ai de vagues idées mais, pour le moment, c'est assez confus...
>
Toute idée sera appréciée.
>
Amicalement,
>
Hubert.

 Soient 3 fonctions f1, g1, h1 sur [0 1] continues et bornées dans [0 1].
On recherche une application T : u -> v telle que u et v sont elles aussi continues et bornées dans [0 1].
T(f1) = f2
T(g1) = g2
T(h1) = h2
avec
f2(x) + g2(x) + h2(x) = 1
 C'est bien ça ?

 Avec N = 3 oui.
En fait, il suffit de chercher T continue (et à valeurs positives) puisque par composition f2, g2 et h2 le seront.
Je ne suis pas sûr, en revanche, que la nouvelle condition
     f2 + g2 + h2 ≡ 1
 soit plus simple à gérer que
     f1 + g1 + h1 ≡ 1
 Par ailleurs (en restant avec N = 3), il y a une solution simple :
 En supposant que f1, g1 et h2 le permettent (somme jamais nulle)
on peut poser S ≡ f1 + g1 + h1
puis
f2 ≡ f1/S ;  g2 ≡ g1/S ;  h2 ≡ h1/S.
====================================================================
et donc :
====================================================================
Retour au cas général avec n fonctions :
If faut donc engendrer de façon aléatoire
(avec la plus grande liberté possible)
 f_1, f_2, f_3, ...., f_n à valeurs positives et définies sur [0 1]
On impose en plus que f_1 est à valeurs strictement positives.
 On définit alors S ≡  f_1 + f_2 + f_3 + .... + f_n
 Et, ensuite, les fonctions g_i conviendront
avec    g_i ≡ f_i / S
 Reste à savoir comment "engendrer" les f_i.

Je propose la recette suivante :
BOUCLE DE 1 à n :
   on fixe 5 réels a, b, c aléatoires compris entre 0 et 1.
   on fixe 2 réels u, v aléatoires compris entre 0 et 1 tq u < v.
   f_n1(x) = (x-a)(x-b)(x-c)      // f_n1 s'annule 3 fois entre entre 0 et 1
   f_n2(x) = f_n1(x) - min(f_n1)  // f_n2 ≥ 0
   f_n3(x) = f_n2(x) / max(f_n2)  // 0 ≤ f_n3 ≤ 1    f_n4(x) = f_n3(x) * (v-u)      // 0 ≤ f_n4 ≤ (v-u)
   f_n(x) = f_n4(x) + u           // u ≤ f_n ≤ v FIN BOUCLE