Re: fonctions

Le 19/05/2022 à 11:36, HB a écrit :

Bonjour,
 J'aimerais trouver une solution "la moins compliquée possible"
au pb suivant :
 N est un entier naturel donné
  - N > 1

C'est important (voir plus bas).

-  N n'est pas très grand  (3 à 10, probablement)

Ceci beaucoup moins.

Je voudrais disposer de N fonctions continues définies sur [0 1]
les plus "aléatoires" possibles telles que
- les valeurs sont positives
- la somme est égale à 1

On remarque que l'expression
:    E = N*(sin(PI/2 * x)² + cos(PI/2 * x)²)^(N-1)
:      = N*(1)^N-1
:      = N
est constante égale à N.
Si on "expand" le terme en ^(N-1) [en considérant que c'est un polynôme en sin² et cos²], on a aussi
:    E = Somme k=0..N-1 F_k(x)
où
:    F_k(x) = N * C(N-1,k) * [sin(PI/2*x)²]^k * [cos(PI/2*x)²]^(N-1-k)
:
:                  N!                   2k               2N-2-2k
:           = ---------- [ sin(PI/2*x) ]  [ cos(PI/2*x) ]
:             k!(N-1-k)!
On a alors N fonctions, F_0..F_(N-1) toutes positives (x entre 0 et 1, donc PI/2*x entre 0 et PI/2 et sin et cos sont positifs). Elles sont aussi continues, et leur somme E est constante (indépendant de x) égale à N>1.
Illustration: https://tinyurl.com/yck2atfc
C'est cela que tu recherches?
sam.