Re: fonctions

Le 20/05/2022 à 08:01, Samuel DEVULDER a écrit :

:    F_k(x) = N * C(N-1,k) * [sin(PI/2*x)²]^k * [cos(PI/2*x)²]^(N-1-k)
:
:                  N!                   2k               2N-2-2k
:           = ---------- [ sin(PI/2*x) ]  [ cos(PI/2*x) ]
:             k!(N-1-k)!
 On a alors N fonctions, F_0..F_(N-1) toutes positives (x entre 0 et 1, donc PI/2*x entre 0 et PI/2 et sin et cos sont positifs). Elles sont

ouais ou plus simplement les puissances des sin et cos sont paires.

aussi continues, et leur somme E est constante (indépendant de x) égale à N>1.

En fait c'est même vrai pour tout x, ce qui veut dire que c'est plus fort que ce que tu souhaites.
Si on se restreint à la contrainte 0<=x<=1, alors x et (1-x) sont deux fonctions continues et positives. On peut alors substiutuer sin² et cos² par ces deux fonctions, et il vient que les N fonctions G_k
:                 N!      k      N-k-1
:   G_k(x)  = ---------- x  (1-x)              k=0..N-1
:             k!(N-1-k)!
ont aussi une somme=N.
Illustrations (N=5):
https://tinyurl.com/yckpx278
https://tinyurl.com/3xda6vvd
Leurs apparences sont moins jolies que celles des sin/cos, mais ca marche quand même.
sam.