L'anneau Z/k

Si sous écrivez les puissances de 2 en notation décimale les unes au dessus des
autres, vous verrez que le chiffre des unités est périodique :
 2 4 8 (1)6 (3)2 ....
Pour les deux derniers chiffres période 20

02 04 08 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88 76 52 04 08...

En fait on se situe dans l'anneau Z/10 ou Z/100 dans lequel les puissance d'un
élément sont évidemment périodiques. Dans Z/k si k n'est pas premier on aura des
diviseurs de zéro. Si k est une puissance d'un nombre il y aura des racines de zéro.
Dans Z/10 toutes les puissances de 5 ont 5 comme chiffre des unités suite constante.

Quand j'étais en CM2 (la "grande classe") je m'ennuyais parfois, aussi je
calculais les puissances de 2 jusqu'à ce que ça déborde le l'ardoise c'est comme
ça que j'ai remarqué le phénomène...

Dans les corps Z/p  p premier tous les éléments sont racines nièmes de l'unité
sauf zéro, n divisant p-1

Par exemple dans Z/11 les puissances de  2
2 4 8 (16)5 10 (20)9 (18)7 (14)3 6 (12)1 2....
2¹⁰ = 1 %11   théorème  u^(p-1) = 1 + k.p si p premier (plus exactement u^p = u
%p valable pour zero)
(1024=1023 +1 =93x11 +1

Pour les puissances de 3
3 9 (27)5 (15)4 (12)1
3⁵= 1 + 11.k  = 242 + 1 =22x11 + 1
et 3¹⁰ = 242² +2.242 +1 =242x244 +1 = 5338x11 +1
ici 3 n'est pas un élément générateur de Z/11.

etc. sauf erreur de calcul
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Vous pouvez dire n'importe quoi, et moi aussi d'ailleurs, mais je m'en f..s
complètement.