Re: Primitive de sqrt(1+x²)

Le 16/08/2022 à 14:04, Julien Arlandis a écrit :

Le 16/08/2022 à 13:16, Olivier Miakinen a écrit :

Le 16/08/2022 à 13:12, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 16/08/2022 à 12:38, Richard Hachel a écrit :

Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)

>
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29

>
Ah, désolé pour la redite.

 Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le faire à la main ?

Bonjour,
Cela ressemble à une exercice assez standard :
1°) Il y a d'abord la bonne vieille intégration par parties :
     Intégrale(UV') = [UV] - Intégrale(U'V)
     On choisit donc U = Sqrt(1 + X²) et V' = 1
     U' = 1/2 . 2X . 1/Sqrt(1 + X²)  V = X
     U'V = X² / Sqrt(1 + X²)
2°) Astuce connue : On fait revenir le truc que l'on cherche
X² / Sqrt(1 + X²) = (X² + 1) / Sqrt(1 + X²) - 1/Sqrt(1 + X²)
donc U'V = Sqrt(1 + X²) - 1/Sqrt(1 + X²)
          = UV' - 1/Sqrt(1 + X²)
Ainsi,
Intégrale(UV') = [UV]  - Intégrale(UV') + Intégrale(1/Sqrt(1 + X²) )
donc
2*Intégrale(UV') = [UV] + Intégrale(1/Sqrt(1 + X²) )
3°) ArcSinh a une dérivée "connue" qui est 1/Sqrt(1 + X²)
... fin de l'aventure
amicalement,
HB