Re: Distance entre points sur une surface sphÀ?UTF-8?B?qXJpcXVl?

Samuel DEVULDER avait prétendu :

Le 26/08/2022 à 18:24, François Guillet a écrit :

Si N est grand, on peut passer au continu. La distance minimale est alors arbitrairement petite, c’est à dire nulle avec nettement moins de 10% d’erreur.
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Expérimentalement function rnd_pt()
  local t=math.random()*2*math.pi
  local u=math.random()*2-1
  local v=math.sqrt(1-u*u)
  local x=v*math.cos(t)
  local y=v*math.sin(t)
  local z=u
  return x,y,z
end
>
math.randomseed(os.time())
N=2
while N<10000000 do
    min = 2
    for i=1,N do
       x1,y1,z1 = rnd_pt()
       x2,y2,z2 = rnd_pt()
       l = math.sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1 - z2)^2)
       if l<min then min=l end
    end
    print(N,min)
    N=2*N
end
c’est à dire l’évolution de la valeur min en fonction de N.
>
2       1.7320535222628
4       0.96619226131122
8       0.32133630829967
16      0.16954171468936
32      0.87810340956493
64      0.42004667763523
128     0.082170058076418
256     0.20796839669734
512     0.038551031383725
1024    0.024837572032891
2048    0.04605965848548
4096    0.02145641292159
8192    0.015818780891673
16384   0.014168108661474
32768   0.013167085921463
65536   0.0076886674297973
131072  0.0015293222938782
262144  0.0044984643104232
524288  0.0026173325159087
1048576 0.0019166170599755
2097152 0.00050883687584596
>
Ça converge bien vers 0.

N est très grand, mais pas infini. En pratique il va s'agir probablement de distances inférieures au µm quand le rayon est de l'ordre des dizaines de cm. Mais on ne peut pas du tout les négliger dans un calcul de forces entre électrons positionnés à ces points, puisque ces forces sont inversement proportionnelle au carré de cette distance.
Je peux reprendre l'algo en Javascript ou en VB, ça m'irait, merci, mais je crains que pour l'ordre de grandeur donné au départ, N ≈ 10^12, le temps de calcul ne soit prohibitif, non ?

Et si ce n'est pas possible de façon stricte, la valeur moyenne des distances minimales entre points quand on les répartit de sorte que l'écart type de ces distances soit le plus faible possible ?

>
La distance minimale est une valeur unique. La moyenne de ces (cette en fait) distances minimales se reduit à cette seule valeur du coup.

Si la valeur est unique pour tous les points, évidemment la moyenne est égale à cette valeur.
Mais je ne savais pas a priori s'il était possible de placer des points arbitrairement sur une sphère de telle sorte que la distance entre n'importe quel point et le point le plus proche, soit une valeur unique.
D'où ma suggestion dans ce second cas, d'avoir un écart type minimal.
Le contexte de la question, c'est que les points sont supposés les plus uniformément répartis. Si cette uniformité est parfaite, je n'ai plus besoin du second cas.

Ce que tu cherches n’est probablement pas ce que tu as exprimé je pense. Bien poser le problème est important. Le langage naturel est trompeur.

Le problème des maths, c'est qu'il faudrait déjà utiliser le langage des maths pour poser la question. Mais si on le connaissait bien, on ne poserait pas la question, on résoudrait soi-même.
Il faudrait que le spécialiste comprenne l'esprit d'une question de néophite ou soit capable d'en voir les ambiguités afin de se faire préciser en termes de néophite, la question. :-)

Tu veux peut être parler de la convergence vers 0 en fonction de N.

???
Je ne vois même plus le rapport avec ma question.  :-)

Il suffit de afficher log(min)/log(N) et voir la tronche de la courbe.
>
>
2       0.73755947047948
4       0.25393706632722
8       0.004036398413153
16      -0.086497164754602
32      -0.29260916906706
64      -0.54413892802073
128     -0.26433527715335
256     -0.48425252512169
512     -0.38625097847592
1024    -0.36985223705506
2048    -0.55986588516339
4096    -0.60234872935944
8192    -0.43763182567399
16384   -0.39421450067684
32768   -0.48363443562599
65536   -0.44314658573074
131072  -0.48649465308727
262144  -0.65185359833834
524288  -0.57606532367517
1048576 -0.49310889039446
2097152 -0.50516448934319
4194304 -0.48848059754013
8388608 -0.45229628649285
16777216        -0.45909124089116
>
Hum difficile de dire que ça converge vers -1/2, cad un truc en 1/sqrt(N). On dirait 1/N^0.45quelquechose, mais on est qu’à N=10^7...