Re: Résolution équation avec des puissances

Le 27/10/2022 à 12:12, Samuel DEVULDER a écrit :

(log(16) veut dire log base 16 je suppose).
D'où ca t'es sorti ? C'est une excellente idée car ca transforme une somme en produit.

C'est log base e de 16. C'est la formule a^b=e^(b log(a))
la transformation est un grand classique en physique:
e^a + e^b = e^(a+b)/2 (e^(a-b)/2+e^(b-a)/2) =2cosh(a-b)/2 e^(a+b)/2
et idem pour e^a-e^b avec 2sh, idem pour des puissances imaginaires et des cos et sin.
 >  il faut que x(1+x) et y(1+y) < 0
                      ^^ ? ? ? ?
 > Je ne vois pas. A ce point on sait juste qu'il faut que x(1+x)+y(1+y)<0, mais pas de "donc" sur x *et* y.
Là j'ai été imprudent, j'ai pensé qu'il fallait minimiser l'exponentielle  le plus possible ...
Je recours à un argument tordu. Posant x=-1/2+xi et y=-1/2+eta
comme 16^-1/4=1/2 l'équation s'écrit
1/2[ 16^xi² 16^(eta -xi) + 16^eta² 16^(xi-eta) ] =1
La somme des deux termes exponentiels vaut donc 2 tandis que le produit vaut
p= 16^(xi²+eta²)
Ils sont donc solution réelles de l'équation du second degré  u^2 -2u +p=0 dont le discriminant réduit vaut 1-p^2. Il faut donc |p|<1 ce
qui vu la formule pour p implique xi=eta=0  CQFD
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Michel Talon