Re: Résolution équation avec des puissances

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Sujet : Re: Résolution équation avec des puissances
De : samuel.devulder (at) *nospam* laposte.net.invalid (Samuel DEVULDER)
Groupes : fr.sci.maths
Date : 27. Oct 2022, 15:51:43
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Le 27/10/2022 à 14:59, Michel Talon a écrit :
Je recours à un argument tordu. Posant x=-1/2+xi et y=-1/2+eta
comme 16^-1/4=1/2 l'équation s'écrit
1/2[ 16^xi² 16^(eta -xi) + 16^eta² 16^(xi-eta) ] =1
              ^^^^^^^^^^^^
on a x²+y = (-1/2+xi)²-1/2+eta = 1/4 - xi + xi² -1/2 + eta       = -1/4 + xi²  + eta - xi
et x+y² = -1/2 + xi + (eta - 1/2)² = -1/2 + xi + eta² -eta + 1/4 = -1/4 + eta² - eta + xi
ok, c'est bon

La somme des deux termes exponentiels vaut donc 2 tandis que le produit vaut
p= 16^(xi²+eta²)
ok

Ils sont donc solution réelles de l'équation du second degré  u^2 -2u +p=0 dont le discriminant réduit vaut 1-p^2. Il faut donc |p|<1 ce
qui vu la formule pour p implique xi=eta=0  CQFD
oui ca à l'air ok. Super technique mais ok.
Moi j'ai beaucoup plus simple comme démonstration même si ca fait la même chose dans le fond...
.. suspens ...
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On veut que 16^(x²+y) + 16^(x+y²) = 1 qui est une somme qui nous emm**. Le truc ici est de passer (encore une fois) par l'inégalité des moyennes: (a+b)/2 >= sqrt(ab), donc a+b >= 2 sqrt(ab).
Donc 1 = 16^(x²+y) + 16^(x+y²) >= 2 sqrt( 16^(x²+y) * 16^(x+y²)) = 2 sqrt(16^(x²+y+x+y²)) = 2 * 16 ^ (x²+x + y²+y)/2 or 2 = 16^(1/4), notre inégalité devient: 1 >= 16^(1/2 + x²+x + y²+y)/2 (on exprime tout en puissance de la 16 [Lemme de Kronenbourg])
On prends le log base 16 pour y voir plus Claire (qu'est ce qu'elle vient faire là?)         0 >= 1/2 + x²+x + y²+y = x²+x+1/4 + y²+y+1/4    (car 1/2 = 1/4 + 1/4)
        0 >=                     (x+1/2)² + (y+1/2)²
Ce qui impose (x+1/2)² + (y+1/2)² = 0, qui implique tout bêtement x=y=-1/2. CQFD (sans grosse artillerie, mais un pack de 6. A la votre!)

Date Sujet#  Auteur
27 Oct 22 * Re: Résolution équation avec des puissances4Michel Talon
27 Oct 22 `* Re: Résolution équation avec des puissances3Samuel DEVULDER
27 Oct 22  `* Re: Résolution équation avec des puissances2Michel Talon
27 Oct 22   `- Re: Résolution équation avec des puissances1Samuel DEVULDER

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