Métrique de Riemann, l'exemple le plus simple.

Le 02/05/2023 à 15:40, maixxx07 a écrit :

Le 29/04/2023 à 08:36, Yannix a écrit :

 PS: Ca marche que dans un espace plat. Dans un espace courbe, la somme des angles d'un triangle ne font pas 180°...

 Je me suis posé un jour la question comment on pouvait mesurer un angle dans un
espace courbe de façon physique (sur une sphère par exemple, euh, avec un
rapporteur? ). Définir l'angle comment ? Dans quel repère ? Et puis, y a-t-il
des triangles sur une sphère ?

Nous avons l'habitude qu'à l'échelle de nos ardoises et tableaux noirs, la somme des angles intérieurs d'un triangle vaille deux droits.
Prenons un triangle plus grand, en nous aidant d'un globe terrestre : 10 000 km de côté. Nous parcourons 10 000 km vers l'ouest sur l'équateur, puis piquons vers le pôle nord, tournons de 90° à droite, et parcourons encore 10 000 km vers le sud jusqu'à notre point de départ. Nous avons simplifié la géométrie de la Terre pour en faire une sphère parfaite. Voilà donc un triangle tri-rectangle, dont l'aire est le huitième de l'aire de la surface terrestre, et la somme de ses angles intérieurs vaut trois droits.
Prenons un triangle deux fois plus grand. 20 000 km sur l'équateur, 10 000 km vers le nord, 180 ° d'angle au pôle, puis redescente de 10 000 km vers le sud jusqu'au point de départ. Un quart de l'aire terrestre, et quatre droits (ou 2π) de somme des angles intérieurs.
Prenons un triangle encore deux fois plus grand : tout l'hémisphère nord. Quelle que soit notre façon de porter les trois sommets, tous sur l'équateur, ou un au pôle nord ou à quelque latitude nord, la somme des angles intérieurs est égale à la somme des angles extérieurs, soit six droits.
Enfin prenons un triangle qui couvre toute la Terre, sauf un petit triangle à l'échelle d'un tracé à la craie dans la cour de l'école. Ses angles intérieurs sont les angles extérieurs du petit triangle, et leur somme vaut dix droits. Quelle que soit sa taille sur la surface de la sphère terrestre, pour tout triangle la somme de ses angles intérieurs et extérieurs vaut toujours douze droits (ou 6π).
Résumons ce que nous avons appris sur cet exemple, le plus simple, de métrique à courbure positive, ou métrique de Riemann.
Soit α le quotient (aire du triangle) / (aire de la Terre entière), au plus égal à 1 ; la somme des angles intérieurs d'un triangle vaut \pi\left(1+4\alpha\right)
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La science se distingue de tous les autres modes de transmission des connaissances par une croyance impie : nous croyons que les experts sont faillibles, que les coutumes peuvent véhiculer toutes sortes d'erreurs, et qu'il faut vérifier, avec des expériences.