Re: Histoire d'i [WAS] [HS] Re: Windows 95

Le 13/09/2023 à 13:49, Julien Arlandis a écrit :

Le 13/09/2023 à 13:09, efji a écrit :

Le 13/09/2023 à 12:25, Michel Talon a écrit :

Le 13/09/2023 à 11:59, efji a écrit :

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On ne parle pas de la racine carrée mais du radical √.
Cette notation ne s'applique qu'aux réels positifs et est univoque.

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C'est manifestement faux, tout le monde écrit les racines de l'équation
du second degré avec sqrt(delta) pour un delta symbolique, le sqrt étant

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"tout le monde". Pas dans le mien :)
Je fais bien attention à cela auprès des étudiants.
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La page wikipedia est assez claire là dessus à plusieurs endroits
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e
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Notion algébrique générale
Définition algébrique d'une racine carrée
Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x^2 = a. L'élément x est alors une racine carrée de a. La notation √a est néanmoins souvent déconseillée car il peut exister plusieurs tels éléments x.
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Racines carrées de nombres complexes
...
Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation
{\displaystyle {\sqrt {zz'}}={\sqrt {z}}{\sqrt {z'}}} devient fausse en général.
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représenté par un  radical √.
En ce qui concerne les surfaces de Riemann et la confiture, il se trouve
que ça a été mon domaine de travail pendant des années, donc j'y suis sensibilisé. Et je partage l'opinion de Arnold que c'est une des plus belles théories des mathématiques, contenant en germe beaucoup de théories modernes (étendues au cas de plusieurs variables, et au cas de corps plus généraux que C). Je suis convaincu de ce fait que la définition univoque  √4 = 2 est sans intérêt autre que d'éviter la confusion dans l'enseignement le plus élémentaire.

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La définition univoque √4 = 2 a un intérêt essentiel: elle permet d'écrire des expressions algébriques et de faire des calculs!
si √4 = \pm 2, alors que vaut
\sum_{i=0}^\infty \sqrt{x_i} ?

 Est ce que l'on peut affirmer que sqrt(1) = 1^(1/2) ?
Si tel est le cas j'en suis resté au fait que 1^(1/2) est multivalué et trouve ses solutions dans {-1; 1}.
Dans ce cas comment évaluer 1^(1/2) + 1^(1/2) ? Doit on accepter la valeur 0 comme résultat ?
 

Mais non. Si on prend de telles conventions on ne peut plus rien calculer. Essentiellement x^{1/2}=\sqrt{x} (un réel positif)
Parfois on peut accepter la notation x^{1/2} pour x complexe, justement pour éviter d'utiliser \sqrt qui est tabou, mais en sachant bien que la racine carrée d'un complexe est ambigue.
Pour les mêmes raisons on essaye d'éviter d'écrire \sqrt{A} pour A une matrice symétrique réelle définie positive ou hermitienne, bien que l'on puisse définir une racine unique par convention (mais il y a plusieurs matrices B telles que B^2 = A).
--
F.J.