Re: La série des infinis

Le 26/09/2023 20:10, Thomas Alexandre a écrit :

 

Ma question est un peu plus fondamentale que l'hypothèse du continu.
J'aimerais savoir comment on peut prouver qu'il existe réellement un
unique « aleph un » qui soit « le plus petit » infini strictement
supérieur à aleph zéro, [...]

 
Alors, je ne suis pas sûr d'avoir compris la question.

Je peux essayer de la préciser.

Parce que si on
pouvait effectivement prouver qu'un ensemble a pour cardinal « aleph un
» (« le plus petit » cardinal strictement supérieur à aleph zéro), soit
c'est le cardinal de R et on prouverait l'hypothèse du continu, soit ce
n'est pas le cardinal de R et on réfuterait l'hypothèse du continu.

À ce que je crois avoir compris, Cantor avait une preuve que les aleph
représentent une suite « bien ordonnée », alors même qu'il n'a jamais
rien su dire de l'hypothèse du continu. Cette preuve est donc forcément
indépendante de la dite hypothèse du continu.

<https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_bien_ordonn%C3%A9>
(je ne crois pas que les aleph puissent constituer un ensemble, paradoxe
de Russell, tout ça, mais je crois que la notion de bon ordre a quand
même quelque chose à y voir).


--
Olivier Miakinen