Re: La série des infinis

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Sujet : Re: La série des infinis
De : samuel.devulder (at) *nospam* laposte.net.inalid (Samuel Devulder)
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Date : 27. Sep 2023, 20:38:35
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Le 27/09/2023 à 12:05, Olivier Miakinen a écrit :

Le 27/09/2023 08:30, Samuel Devulder a écrit :
blah
Tiens tu réponds à un message que j'avais annulé après avoir vu que je n'étais pas du matin :)

Parce qu'il ne semble absolument pas mis en question qu'il existe un
aleph_1, un aleph_2, et ainsi de suite.
Oui via l'ensemble des parties d'un autre ensemble on peut construire une suite infini d'ensembles strictement plus "grands" les uns des autres. Mais pourquoi ce serait la seule façon de faire, et pourquoi il n'y en aurait pas une autre construction qui soit entre les deux.
Toute analogie foireuse étant admise (on est sur Usenet: personne ne nous lit), si on dit que le cardinal de N est "assimilable" au comportement de la fonction (n->n) à l'infini, et celui de R la fonction (n->2^n) qui croit infiniment plus vite que celle de N, à quel ensemble correspondait la fonction (n->2^sqrt(n)) ? Ouais, j'ai bien dit foireuse.

Non, tu fais encore la même confusion entre aleph_1 (qui est le plus petit
infini strictment plus grand que aleph_0) et 2**aleph_0 (qui est le cardinal
de l'ensemble des réels).
Cette notion de "plus petit unique" m'interpelle. Évidemment cela vient de la preuve que les ordinaux soient bien ordonnés. Mais quand on a dit cela, on ne se forge pas d'intuition concernant le fait qu'il n'y a rien de strictement plus petit que aleph_1 et strictement plus grand que aleph_0.

En revanche, ce qui n'est du tout remis en question, c'est le fait de
l'existence même d'un aleph_1 (alors que par exemple il n'existe pas
de « réel_1 » qui serait le plus petit nombre réel strictement positif).
Concernant Aleph_1 != 2^Aleph_0, j'avais lu que des axiomatiques particulières amenaient à croire que 2^Aleph_0 soit en fait identique à Aleph_2, le 2e plus grand ordinal. C'est à dire qu'il existerait des ensembles infinis strictement plus grands que N et strictement plus petit que R (mais je crois que ce sont des bizarreries d’axiomes supplémentaires sur les infinis).
Note: je reviens à mon analogie foireuse avec card(R)="le comportement à l'infini de (n->2^n)", est-ce qu'on pourrait se dire que aleph_1 serait le cardinal de l'ensemble correspondant à (n->2^sqrt(n)). Encore plus foireuse cette analogie car quid de (n->2^sqrt(sqrt(n))) ?
Sous ces hypothèses, pourquoi il n'y aurait qu'un seul tel ensemble ? Pourquoi on ne pourrait itérer le processus entre N et cet ensemble pour trouver un ensemble entre les deux de la même façon qu'on arrive à construire une fonction qui croit infiniment moins vite qu'une fonction donnée convergeant vers +inf (considérer le log).
Bref, je divague. Désolé pour le bruit.
sam.

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