Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion

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Sujet : Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion
De : yanicktoutain (at) *nospam* gmail.com (Yanick Toutain)
Groupes : fr.sci.maths
Date : 07. Oct 2023, 22:38:42
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Message-ID : <b1be39f3-1897-4877-af27-43eceaf934ffn@googlegroups.com>
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Le samedi 7 octobre 2023 à 22:34:19 UTC+2, efji a écrit :
Le 07/10/2023 à 22:13, Yanick Toutain a écrit :
Le samedi 7 octobre 2023 à 17:52:14 UTC+2, efji a écrit :
Le 07/10/2023 à 16:24, Yanick Toutain a écrit :
Le samedi 7 octobre 2023 à 10:07:37 UTC+2, efji a écrit :
Le 06/10/2023 à 22:40, Yanick Toutain a écrit :
Pendant 10h le passager d'un camion voit une moto tourner autour du camion.
Il calcule que la vitesse de révolution de la moto est
v = 1 km/h
Seulement voilà, le camion n'est pas immobile. Pendant ces dix heures, il a roulé à une vitesse
S = 100 km/h
La question est (bien évidemment par rapport à la route)
quelle est la longueur du trajet de la moto.
Et donc quelle a été T la vitesse moyenne de la moto.
Et donc quelle est la valeur de T - S (en fonction de S et de v)
 
 
 
Question subsidiaire : Est-ce que la formule approximative donnant le résultat et/ou la démonstration rigoureuse apparaissent quelque part dans un ouvrage de physique depuis 3 siècles ?
 
ChatGPT vient de corriger la démonstration de Bard.
Je les publierai quand d'éminents mathématiciens auront posé leurs lumières sur ce trivial exercice (dont les conséquences en physique seront gigantissimes)
 
confer problème idem en fr.sci.physique il y a deux mois.
Sans réponse sérieuse.
https://groups.google.com/g/fr.sci.physique/c/PkjZXe9y2FQ
Il manque un paramètre : le rayon r du cercle que décrit la moto dans le
référentiel du camion. Ensuite on écrit facilement avec une intégrale la
longueur du chemin décrit par la moto dans le référentiel de la route,
mais cette intégrale n'est pas calculable explicitement car elle est de
la forme \int \sqrt{a+b\sin(t)} dt
avec a différent de b.
 
On peut en faire un développement limité car a>>b et on obtient la
solution développée en fonction de vr^2/S << 1.
 
Un petit exercice de math sup pas très difficile.
 
--
F.J.
Merci de participer.
Il ne manque aucun paramètre et c'est là une des principales subtilités du problème.
Mais vous pouvez évidemment choisir arbitrairement un rayon (par exemple r = 10 (m) pour homogénéiser avec les réponses d'autres souhaitant absolument avoir un tel rayon. Vous en choisirez un autre r2= 20 m pour comparer vos résultats)
Cela fait des années que je le pose à des "vrais" gens bac+x qui ne le trouvent pas "pas difficile "
Seuls Bard puis ChatGPT (après des heures d'explication de ma part) ont trouvé le bon résultat avec une démonstration qui me semble ne pas contenir de bug logique
Exact pour r. J'avais fait une petite erreur de calcul dès le début dans
la vitesse angulaire :)
 
Donc finalement la réponse est S, tous calculs faits. C'est troublant au
premier abord, mais on comprend très vite ce qui se passe : si la route
est selon x, la moyenne de la composante en y de la vitesse de la moto
est évidemment 0 et la moyenne de la vitesse selon x est aussi
évidemment S. Attention ces deux moyennes des composantes de la vitesse
ne prouvent pas le résultat : en effet imaginons un objet sur une
glissière fixée au pare-choc (donc qui suit le mouvement du camion en x)
et qui oscille de droite à gauche selon y, on aurait les mêmes moyennes
que dans le cas de l'orbite circulaire mais une vitesse moyenne globale
différente de S, probablement \sqrt{S^2+v^2}. C'est le mouvement
circulaire de la moto dans le référentiel du camion qui donne ce
résultat étonnant.
 
--
F.J.
 
Supposez une fuite d'huile avec une goutte qui tombe sur la route tous les 10 mètres.
 
 
Quel serait le tracé des gouttes pour la moto ?
Il ne faut pas parler de mètres mais de secondes !
Le tracé de la trajectoire est une petite ondulation autour le la
droite, d'équation (ici on a besoin du rayon r !)
 
x(t) = St + r \cos(\theta't)
y(y) = r \sin(\theta't)
 
\theta' = 2\pi v/r
Ou encore, imaginez la consommation totale d'essence.
Supposez-vous que la moto aura consommé autant que le camion ?
(on suppose L litres au 100 pour les deux)
 
Il y a en effet des "raccourcis mathématiques" conceptuels qui donnent des résultats (faux) étranges.
Encore une fois c'est l'intérêt de ce problème.
Je n'ai jamais trouvé trace de la formule du résultat final (T vitesse moyenne de la moto) pour v bien plus petit que S
T = S + ?
Si on moyenne sur un nombre entier de rotations (et de nouveau ici on a
besoin de r), le terme du premier ordre tombe car on a en facteur
\int \sin(\theta't) dt = 0
 
Donc on a
 
T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3)
 
le terme suivant est d'ordre 4 (d'où le "o") car de nouveau le terme en
\int \sin(\theta't)^3 dt = 0 si on moyenne sur un nombre entier de périodes.
La formule donnant T je ne l'ai jamais vue nul part ailleurs que dans mes propres calcul.
Ne vous surestimez pas, c'est à la portée de tout étudiant correct en
math sup :)
Les AI IA Bard et ChatGPT ne la connaissent pas dans leurs archives.
Elles ne peuvent pas (encore) inventer des choses pareilles, sauf si on
les aide un peu.
Ils n'ont aucune idée de QUI aurait bien pu faire de tels recherches.
"recherches" :)
 
--
F.J.
Vous annoncez quelle vitesse ? Et quelle longueur supplémentaire parcourue par la moto ?
T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3)

Date Sujet#  Auteur
6 Oct 23 * Vitesse d'une moto autour d'un camion45Yanick Toutain
7 Oct 23 +* Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion2Python
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7 Oct 23 ii+* Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion4Thomas Alexandre
7 Oct 23 iii+- Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion1efji
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