Re: [Ma solution] Équation fonctionnelle

Le 04/01/2024 à 10:02, Olivier Miakinen a écrit :

Le 02/01/2024 à 22:14, j'ai proposé :

>
Le week-end dernier, sur la chaine youtube de Michael Penn, il y
avait une très jolie équation fonctionnelle. Je vous la soumets.
>
Il s'agit de trouver toutes les fonctions f de ℝ dans ℝ vérifiant :
  ∀x∈ℝ, f(x) = max{2xy − f(y), y∈ℝ}

 Ainsi que l'a écrit Samuel Devulder, la vidéo est ici :
<https://www.youtube.com/watch?v=0T-IBs-qk54> (en anglais).
 Voici ma propre solution, que je trouve un peu plus simple que la
sienne (ceux qui comprennent l'anglais et regardent la vidéo pourront
comparer).
 Tout d'abord, j'ai reformulé l'équation sans utiliser max(), en disant
que deux conditions doivent être vérifiées simultanément :
  (1) ∀x∈ℝ, ∀y∈ℝ, f(x) ≥ 2xy - f(y)
  (2) ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, f(x) = 2xy - f(y)
 De la première condition, en choisissant y = x, on prouve que :
  ∀x∈ℝ, f(x) ≥ x²
 Il est facile de vérifier que la fonction définie par f(x) = x²
convient. Pour voir si c'est la seule, je pose f(x) = x² + g(x).
D'après la preuve précédente, on sait que ∀x∈ℝ, g(x) ≥ 0.
 Je réécris alors la condition (2) en passant tout dans le membre
de gauche :
  ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, f(x) - 2xy + f(y) = 0
  ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x² + g(x)) - 2xy + (y² + g(y)) = 0
  ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x² - 2xy + y²) + g(x) + g(y) = 0
  ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x - y)² + g(x) + g(y) = 0
 Chacun des trois termes (x - y)², g(x) et g(y) est toujours supérieur
ou égal à zéro. La seule possibilité pour que la somme soit nulle est
que tous les trois soient nuls, en particulier que g(x) = 0, et ce
quel que soit x.
 En conclusion : ∀x∈ℝ, f(x) = x² + g(x) = x² + 0 = x².
 La seule fonction vérifiant l'équation fonctionnelle est donc f(x) = x².
 

J'ai fait pareil sur la 2eme partie après que tu aies donné l'indication f(x) = x^2+g(x).
Pour la première partie j'ai cherché tous les polynômes qui marchent et on tombe sur x^2.
--
F.J.