Re: Biaiser les probabilités

Le 30/01/2024 11:01, Olivier Miakinen a écrit :

 
Tu as raison. Mon erreur était de considérer qu'à chaque tirage on avait une
chance sur deux de tirer 1 ou 0, alors qu'avec des grilles équilibrées ce
n'est plus le cas. C'est mon 1/(2^(2k+1)) qui est faux. Je vais y réfléchir
de nouveau pour trouver la formule correcte.

J'ai corrigé mon erreur, et j'ai même programmé moi-même l'algorithme en
python, mais j'ai eu une énorme surprise !

La probabilité de gain avec ton algo, en supposant des grilles équilibrées,
est en fait une formule compliquée :

 proba = (n!)²/(2n)! × somme pour k = 0..n-1 de la chose suivante :
                   { (2k)!(2n-2-2k)! / ( k!(k+1)!((n-1-k)!)² }

Je peux simplifier un peu en remarquant que je peux y trouver trois fois
l'expression (2m)!/(m!)² qui est égale à C(2m,m) c'est-à-dire le nombre de
combinaisons de m objets pris parmi 2m. Soit dit en passant, le k-ième
nombre de Catalan est C(2m,m)/(m+1)

En posant c2(m) = C(2m,m) l'expression devient alors :
 proba = { somme pour k = 0..n-1 de ( c2(k) × c2(n-1-k) / (k+1) ) } / c2(n)

Voici mon programme :
===============================================
#!/usr/bin/env python3

import math

def c2(n) :
    return math.comb(2*n, n)

def sum_item(n, k) :
    return c2(k) * c2(n-1-k) / (k+1)

def proba(n) :
    sum = 0
    for k in range(n) :
        sum += sum_item(n, k)
    print ("proba pour", n, "=", sum/c2(n))

for n in range(1, 20):
    proba(n)
===============================================

Et voici la colossale surprise, quand je l'exécute :
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proba pour 1 = 0.5
proba pour 2 = 0.5
proba pour 3 = 0.5
proba pour 4 = 0.5
proba pour 5 = 0.5
proba pour 6 = 0.5
proba pour 7 = 0.5
proba pour 8 = 0.5
proba pour 9 = 0.5
proba pour 10 = 0.5
proba pour 11 = 0.5
proba pour 12 = 0.5
proba pour 13 = 0.5
proba pour 14 = 0.5
proba pour 15 = 0.5
proba pour 16 = 0.5
proba pour 17 = 0.5
proba pour 18 = 0.5
proba pour 19 = 0.5
===============================================

:-D

--
Olivier Miakinen