Re: Biaiser les probabilités

Le 30/01/2024 à 14:21, Olivier Miakinen a écrit :

Le 30/01/2024 13:21, Julien Arlandis a écrit :

 Es tu sûr de ta formule ?

 Maintenant oui, d'autant plus que les chances que je me sois trompé mais
que je tombe sur une formule hyper-compliquée dont le résultat soit par
hasard exactement égal à un demi, ces chances sont assez minces !
 Voici mon raisonnement.
 Pour commencer, déterminons ce qu'est une situation gagnante avec cette
stratégie. Je note G le fait de découvrir une case gagnante et P celui
de découvrir une case perdante.
 Pour que tu paries, il faut que tu découvres un P, et que ce soit la
première fois que le nombre de P devient strictement supérieur au nombre
de G. Cela veut dire que la séquence juste avant ce P contient autant de
G que de P (notons k ce nombre de G et de P), et qu'à tout moment il y a
eu dans cette séquence au moins autant de G que de P.
 Cette séquence de longueur 2k est un mot de Dyck, avec des G à la place
des X et des P à la place des Y :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan#Mots_de_Dyck>.
Le nombre de mots de Dyck de longueur 2k est exactement le nombre de
Catalan d'indice k, soit (2k)!/k!/(k+1)!, et c'est bien sûr un entier.
 Pour que tu paries à ce moment-là, il faut que ce mot de Dyck soit
suivi par un P, et pour que tu gagnes il faut que ce P soit suivi par
un G. Voici un exemple de combinaison gagnante : "GGPGPPPG" où le
début "GGPGPP" est un mot de Dyck et la fin est invariablement "PG".
 Calculons les probabilités d'obtenir cette combinaison particulière, ça
donnera une idée du cas général.
− premier G : n/(2n)
− deuxième G : (n-1)/(2n-1)
- premier P : n/(2n-2)
- troisième G : (n-2)/(2n-3)
- deuxième P : (n-1)/(2n-4)
- troisième P : (n-2)/(2n-5)
- quatrième P : (n-3)/(2n-6)
- quatrième G : (n-3)/(2n-7)
 Aux numérateurs, on a deux fois n, deux fois (n-1), deux fois (n-2) et deux
fois (n-3), même si c'est dans le désordre.
Aux dénominateurs, on a tous les nombres de 2n à 2n-7, dans l'ordre.
De façon assez évidente, on peut voir que pour tout autre nombre de Dyck
de même longueur on aura les mêmes numérateurs (quoique dans un ordre
différent) et les mêmes dénominateurs (dans le même ordre).
 Et donc, la probabilité de gagner suite à "un" mot de Dyck de longueur 2k
donné, c'est le carré de n(n-1)...(n-k) divisé par (2n)(2n-1)...(2n-1-2k).
 Il faut sommer ça sur tous les mots de Dyck de toutes les longueurs possibles,
sachant que pour la longueur 2k le nombre de mots de Dyck correspondant est
le nombre de Catalan d'indice k.
 Un petit peu de manipulation algébrique, et on arrive à la formule que j'ai
donnée.

Le raisonnement me semble joli mais comment résous tu le paradoxe suivant :
À la seule exception du cas où l'on gratte N-1 case, au moment de la mise il reste toujours une case gagnante de plus à gratter que de cases perdantes parmi les cases restantes ? Intuitivement, on s'attend donc à ce qu'au moment de la mise on ait plus de chances de tomber sur un gain que sur une perte et donc que la probabilité de gain soit supérieure à 1/2. Comment l'expliques tu ?