Re: taux d'intérêt

efji a écrit :

Le 09/07/2024 à 21:04, Olivier Miakinen a écrit :

Le 09/07/2024 20:30, efji m'a répondu :

[...]

 
Donc, pour reprendre tes termes :

La valeur d'un bien = E
Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
Je sais combien le remboursement va durer = n

 
Tu cherches le taux d'intéret i, sachant que l'on a la formule :
      A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
 
On peut la simplifier un peu comme ceci :
     (1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
 
 
Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant
i à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des
approximations successives. Cela dit, il est possible que les vrais
mathématiciens qui lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

 
Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement
trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.

 
Je m'en doutais.
 

Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes
habitudes :)

 
:-D
 

Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié
ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance
(vous n'êtes pas Hachel).

 
La démonstration de la formule est donnée sur la page Wikipédia. Je l'ai
lue sans y trouver d'erreur.
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante#D%C3%A9monstration_de_la_formule>
 

Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est
une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.
 
Donc il faut résoudre
 
1-(1+x)^(-n) = Cx
 
Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)

 
Oui, x est certainement petit devant 1, de l'ordre de 1/20 (entre 3 % et 6 %
à ce qu'il semble). Alors x³ devrait être de l'ordre de 1/8000.
 

Pour tout a réel on a le développement limité suivant à l'ordre 3 en x:
 
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)

 
Ne manque-t-il pas des 1/k! ?
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

 
ooch oui, désolé, écrit trop vite :)
 
Donc:
 
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)
 

 
J'arrête ici la lecture, j'ai encore des tas de choses à faire ce soir.
 

 
où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que
o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.
 
Donc ici, pour a=-n, on obtient
 
1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx

 
Et ici
1 - (1 - nx + (1/2)n(n+1)x^2 - (1/6)n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx
 

soit
nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
ou encore
 
(n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0

 
corrigé en
 
(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 + o(x^2) = 0
 

 
qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je
vous laisse le faire.
 
Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de
l'approximation au 1er ordre et juste résoudre
 
(n-C) - n(n+1)x = 0

en fait (n-C) - n(n+1)x/2
  = 0

 
ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).

 
d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre

Avec mes valeurs :
E = 29191
Total = 35990
n = 3 ans
donc A = 35990 ÷ 3 = 11998

ce qui donne x = 0,095


J'ai entré la formule de Wikipédia dans un tableur et procédé par
tatonnement, comme le propose Olivier. J'arrive à :

taux = 0,1125

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siger