Re: Simultanéité et relativité restreinte (pour R.V.)

MÉCANIQUE DU POINT MATÉRIEL.
Bien que le sujet de cette discussion soit la simultanéité et la relativité, je traite ici de la  mécanique du point matériel..
Comme vous pourrez le constater ma position est celle d’un «ingé» je reste donc bien à ma place.
On examine d’abord la cinématique du point matériel qui reprend cet article  https://femto-physique.fr/mecanique/cinematique.php

LE TEMPS https://www.universalis.fr/encyclopedie/temps/2-le-temps-physique/
Parmi les diverses grandeurs définies et étudiées par le physicien avec l'idéal constant de parvenir à les rendre mesurables, le temps possède des caractères propres. Par la richesse de ses implications qui ne concernent pas la physique (implications sociologiques, biologiques, psychologiques, métaphysiques), il s'entoure d'une aura non dénuée de quelque mystère : « Si on ne me le demande pas, je crois savoir ce qu'est le temps, écrivait saint Augustin. Mais si on me le demande, je ne le sais plus. » Malgré toutes les réflexions faites et les connaissances accumulées à son propos, et par de nombreux spécialistes, le visage tant scruté du temps reste par certains côtés celui d'un sphinx.
Dès son origine, la mécanique de Kepler, de Galilée, de Newton, de Huygens a su définir de manière opératoire le temps comme une grandeur mesurable et, plus tard, légaliser de mieux en mieux cette définition (cf. GALILÉE, HUYGENS, KEPLER, MÉCANIQUE CÉLESTE, NEWTON). Par la suite, l'électromagnétisme, puis l'optique, en liaison d'abord avec la mécanique classique et ensuite, beaucoup plus fondamentalement, avec la mécanique quantique, ont permis des progrès considérables sur le plan de la technologie de la mesure et sur celui des définitions fondamentales (cf. LASERS, MASER, effetMÖSSBAUER).

L’ESPACE
L’expérience montre que le mouvement possède un caractère relatif. En d’autres termes, on ne peut pas dire qu’un corps est “en mouvement” (ou “au repos”) sans préciser par rapport à quoi. Pour décrire le mouvement il est donc nécessaire de préciser un espace de référence qui nous permette de repérer la position d’un point. Un espace est un ensemble de points fixes entre eux. Il est homogène et isotrope et ses propriétés sont indépendantes de la matière qui s’y trouve. il est isomorphe à l’espace euclidien R3. Armés des lois de la géométrie euclidienne, nous pouvons alors mesurer la distance entre deux points ainsi que l’orientation de n’importe quel axe à condition de définir une unité de longueur : le mètre du Système international.
Pour décrire le mouvement d’un corps matériel il est nécessaire de préciser par rapport à quel espace de référence on fait les mesures de distance et par rapport à quelle horloge on mesure le temps. L’espace de référence associé à un repère temporel forme un référentiel.

REPÉRAGE D’UN POINT.
VECTEUR POSITION
Dans l’espace de référence, on choisit un point O comme origine.
Par définition, le vecteur position est le vecteur x(t) = OP(t) où P est la position du mobile à l’instant t: x(t) = OP(t) = a e où e est le vecteur unitaire de x. Dans une base (ek) de E (on choisit en général une base orthonormée), il peut s’exprimer en fonction de ses composantes: xk = OPk où Pk est  la projection du point P sur l’axe Oxk et en fonction de ses coordonnées (ak): x = Σ xk = Σ ak ek.
 
VITESSE INSTANTANÉE.
La vitesse instantanée v(t) est définie par: v(t) = lim ∆x/∆t quand ∆t→0
où ∆x = x (t+ ∆t) − x(t) est le vecteur déplacement entre les instants t et t + ∆t.
La vitesse instantanée est donc un vecteur qui est la dérivée du vecteur position par rapport au temps: v = dx/dt
Le vecteur v peut s’écrire en fonction de ses  composantes vk dans la base (ek): vk = dxk/dt
À la limite où ∆t tend vers zéro, le vecteur ∆x tend vers un vecteur tangent à la trajectoire. Le vecteur vitesse est donc toujours tangent à la trajectoire. On peut donc l’écrire : v = |v| f/|e|; f étant le vecteur unité tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement, au point considéré, et |v| le module du vecteur v qui est donné par |v| = sqrt (Σ vk^2)
 
L’ACCÉLÉRATION.
L’accélération d’un mobile caractérise la variation de sa vitesse au cours du temps. Procédant comme pour la vitesse, on définit l’accélération g(t) à un instant t donné par:
g(t) = lim v(t+∆t)−v(t) quand ∆t→0
L’accélération instantanée d’un mobile est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps, à l’instant considéré:
g(t) = dv/dt
 _________
Il s’agit donc là d’un simple rappel de la cinématique du point matériel. La suite, même si elle est innovante, ne devra pas poser de problèmes, elle s’appuie sur des notions couramment utilisées en mécanique des fluides.

L’ESPACE GÉNÉRAL.
On définit ensuite la grandeur y, y = b f avec b = arth v/c. Elle se décompose suivant la base (ek) en composantes yk:
yk = bk ek, y = Σ yk = Σ bk ek.
On définit ainsi l’espace des vitesses F avec ces vecteurs.
 
Soit l’espace G produit de E par F, CONSTRUIT sur le corps des complexes.
https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Espace_préhilbertien_complexe/Produit_scalaire#Espaces_préhilbertiens_complexes
G = E x F, z ε G, avec z = x + i y.

La VITESSE w d’un point de G est donnée par la dérivée de z par rapport au temps: w = dz/dt = v + i u, avec v = dx/dt et u = dy/dt = db/dt f + b df/dt soit
u = k gt f/c + (arsh v/c) v n/r, avec k = 1/sqrt(1 + (v/c)^2), gt étant l’accélération tangente à la trajectoire, n le vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire et dirigé vers l’intérieur et r son rayon.

MÉCANIQUE.
Soit la fonction h = m z définie sur G.
h = m x + i m y.
Sa dérivée s’écrit:
dh/dt = m dz/dt = m dx/dt + i m dy/dt = m v + i m u.
On pose q = m x et p = m y/τ qui définit l’impulsion du point matériel, τ étant le temps mis par une onde électromagnétique pour parcourir une longueur unité: τ = |e|/c, ce qui donne sous forme scalaire p = m c arsh v/c.
D’où h = q + i p/τ.
Sa dérivée s’écrit:
dh/dt = m dz/dt = m dx/dt + i m dy/dt = m v + m u = dq/dt + i dp/dt..

Par définition dp/dt est la somme des forces extérieures F agissant sur le corps,
F = dp/dt = m u = Ft + Fn avec Ft = m k gt et Fn = m c (arsh v/c) v n/r.
On pose Q = m v/τ , que l’on appelle la force de mouvement, car Q est une force, que l’on peut donc rattacher à l’ancienne notion d’impetus https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Impetus dh/dt = Q + i F.
 
L’énergie E d’un point matériel est telle que dE/dt = Ft v
soit dE/dt = k m gt v = m v gt/sqrt(1 + (v/c)^2) d’où
E = m c^2 sqrt(1 + (v/c)^2) = γ mc^2 et une énergie cinétique Ec = (γ - 1) m c^2
avec γ = sqrt(1 + (v/c)^2).

Lorsque v << c, on obtient les lois de la mécanique classique,
p = m v, Ft = m gt, Fn = m v^2/r et Ec = m v^2/2.