5^(3i)

La question du jour est donc : combien font 5^(3i)?
Si l'on demande à un mathématicien combien font 2*2, le mathématicien saura répondre. 2*2 font 4. Si on lui demande combien font 9*4, hormis Python, notre sympathique utilisateur Nemo, mais qui semble avoir de très gros problème avec l'arithmétique, le mathématicien répondra que cela fait 36 (et pas sept virgule deux comme le suggère notre ami sur fr.sci.physique).
Pourquoi ces bonnes réponses universelles? Parce que les mathématiciens ne sont pas des cancres. Même à l'école primaire, on sait que 2*2 font 4, et que 9 fois 4 font 36. Mais, de même qu'en relativité restreinte où Albert Einstein et Hermann Minkowski ont fait dévier le courant de la pensée de Poincaré plus qu'ils ne l'on porté un centimètre plus loin, un problème va se poser dès que les mathématiciens vont considérer l'entité imaginaire i. Et de même que l'immense docteur Hachel (c'est moi), surnommé le luminaire céleste de usenet, a révolutionné les notions relativistes de façon foudroyante, on peut, peut-être, se poser des questions sur le concept imaginaire et tenter des réponses là où il semblerait qu'il n'y en a pas.
Qu'est ce que i? Ce n'est pas un nombre, et on peut s'étonner que les mathématiciens voient là un nombre. C'est un opérateur. Comme la racine carrée, ou le logarithme. Ainsi, par exemple, 1(opérateur i)=-1. Ou 1(i²)=-1 comme c'est bien connu. De là, c'est facile : i^x=-1 quelque soit x, et (-i)^x = +1 ou -1 selon la parité de x. (-i)^3=1. (-i)^4=-1. Cela est trivial ; alors il faut aller plus loin. Et en exposant? Que devient i? Quel opérateur devient-il? Posons y=5^(3i)
Combien cela fait-il? Il semblerait qu'aucun mathématicien ne sache répondre sur cette question de lycée. Je vais tenter une réponse, merci de bien suivre l'exposé.
y=5^(3i) est un point sur l'échelle y de la courbe y=5^x où x=3i. Traçons y=5^x. Facile. Une simple exponentielle passant pas $(0,1) puis par (1,5), (2,25), etc...
Mais où se trouve 3i sur x? Le bon docteur Hachel, nous a montré, de façon très élégante, que 3i se trouvait en position (-3,0) sur une représentation cartésienne (il n'est pas besoin de parler de représentation de Gauss-Argand, nous étudions les imaginaires purs, pas les complexes, dont l'utilité est ailleurs ; comme en électromagnétisme ou en électricité).  Il suffit donc de retrouver le y attenant à la contre-courbe imaginaire g(x) en symétrie de point $(0,y₀).
g(x), qu'est-ce? C'est g(x)=-f(-x)+y₀, soit ici, g(x)=-5^(-x)+2 On voit que si x=-1, par exemple g(x)=-5+2=-3, et donc que si x=i alors f(x)=-3. Bref 5^i=-3
Cherchons 5^(3i). On a par symétrie de point $, 5^3=125 comme chacun sait.
Soit : il existe un point f(x)=(3,125) pour f(x)=5^x et donc un point g(x)--$-->(-3,-123).
Ce qui nous donne 5^(3i)=-123
C'est un peu contre-intuitif d'avoir un résultat négatif mais il ne faut pas oublier que ^i est un agent de rotation de 180° de la courbe en la partie haute de droite, devient basse de gauche, et passer de (3,125) à (-3,-123) puisqu'il ne faut pas oublier de retrancher 2y₀, et ici y₀=1.  Je vous remercie de votre attention.
 R.H.