Re: Simple enough for every reader?

On 04.06.2025 08:43, Mikko wrote:

On 2025-06-03 13:17:57 +0000, WM said:

I had only to show that in Cantor's set theory proofs by arithmetic induction are possible.

 Which you didn't show.

Cantor shows it.

 

That confirms my proof:
ℵo - 1 = ℵo
P[1]: {1} has infinitely many (ℵo) successors.
P[n]: {1, 2, 3, ..., n} has infinitely many (ℵo) successors.
P[n+1]: {1, 2, 3, ..., n, n+1} has infinitely many (ℵo) successors.

 So far good. But no P[n] -> P[n+1] and no induction.

ℵo - 1 = ℵo.

 

As there is no complete
sentence in the quoted text fragemnt it is hard to say what exacly he was
going to do but I can't imagine any completion of the sentence that does
not promise to use complete induction for something.

 

Here Cantor shows a shorter application of induction:
>
Ich schicke folgenden allgemeinen, höchst einleuchtenden Hilfssatz voraus: sind irgend zwei Mengen M und N äquivalent, so können sie (im allgemeinen auf viele Weisen) so in gegenseitig eindeutige und vollständige Zuordnung gebracht werden, daß bei dieser Zurodnung einem beliebig vorgegebenen Elemente m von M ein ebenso beliebig gewähltes Element n von N entspricht.
    Und nun wird zum Beweise des in Rede stehenden Satzes ein vollständiges Induktionsverfahren eingeleitet.
    Man setze eine Menge M voraus, welche keinem ihrer Bestandteile äquivalent ist; ich will zeigen, daß alsdann auch die aus M durch Hinzufügung eines neuen Elementes l hervorgehende Menge M + l dieselbe Eigenschaft hat,  mit keinem ihrer Bestandteile äquivalent zu sein. Sei N irgendein Bestandteil von M + l, so kann er zwei Fälle darbieten. 1) Es gehört das Element l mit zu N, so daß N = N'  + l. N' ist dann offenbar auch Bestandteil von M. Wäre nun N ~ M + l, so könnte nach obigem Hilfssatze zwischen den Mengen  N und M + l  eine solche gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz hergestellt werden, daß das Element  l von N dem Element l von M + l entspricht; durch diese Zuordnung würde auch eine Zuordnung zwischen N' nd M hergestellt sein und es wäre M seinem Bestandteil N' äquivalent, gegen unsere Voraussetzung. 2) Es gehört l nicht mit zu N; dann ist N nicht nur Bestandteil von M + l sondern auch von M. Wäre in diesem Falle N ~ M + l, so nehme man irgendeine gegenseitig eindeutige vollständige Zuordnung der beiden Mengen M + l und N und es möge bei derselben dem Elemente l von M + l das Element n vonN entsprechen. Ist N =N' + n, so wäre durch diese Zuordnung auch eine gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz zwischen N' und M hergestellt, was, da auch hier N' Bestandteil von M ist, gegen die gemachte Voraussetzung streitet, wonach M keinem ihrer Bestandteile äquivalent ist.
[Cantor's collected works p. 415]

 That is an indirect proof.

It is applying induction in set theory.

You seem to prefer direct proofs.

That is irrelevant. But in fact it supplies the shortest proof that not all natural numbers of Cantor's set can be individually defined:
Since all natural numbers can be reduced to the empty set by subtracting them collectively,
ℕ \ {1, 2, 3, ...} = { }
they could also be reduced to the empty set by subtracting them individually - if this was possible. But then the well-order would force the existence of a last one. Contradiction.
Regards, WM