Re: Simple enough for every reader?

On 03.06.2025 10:08, Mikko wrote:

On 2025-06-01 14:15:06 +0000, WM said:
 

On 01.06.2025 13:53, Mikko wrote:

On 2025-05-31 13:40:12 +0000, WM said:
>

On 31.05.2025 11:59, Mikko wrote:

On 2025-05-30 14:25:22 +0000, WM said:

>

Here I use induction in Cantor's set. That is allowed. Cantor did it too.

>
No, there is no artithmetic induction and no set induction there.

>
"daß die Reihe
            1, i2, i3, ..., i, ...
nur eine Permutation der Reihe
            1, 2, 3, ..., , ...
ist. Dies beweisen wir durch vollständige Induktion,"
[Cantor, collected works, p. 305]

>
Did Cantor acurally prove that with a complete induction? As far as
I have seen Cantor has proven what he promised to prove.

>
Cantor often used induction: vollständige Induktion. But that is irrelevant.

 Indeed. An answer to my question would have been relevant but you didn't
give any. Apparently you don't know whther or how Cantor proved what he
claimed in the sentence that is partially quoted.

I know it, but it is rather tedious. If you are interested, you may look it up yourself or refer to the shorter proof I attach below.
I had only to show that in Cantor's set theory proofs by arithmetic induction are possible. That confirms my proof:
ℵo - 1 = ℵo
P[1]: {1} has infinitely many (ℵo) successors.
P[n]: {1, 2, 3, ..., n} has infinitely many (ℵo) successors.
P[n+1]: {1, 2, 3, ..., n, n+1} has infinitely many (ℵo) successors.

As there is no complete
sentence in the quoted text fragemnt it is hard to say what exacly he was
going to do but I can't imagine any completion of the sentence that does
not promise to use complete induction for something.
 

Here Cantor shows a shorter application of induction:
Ich schicke folgenden allgemeinen, höchst einleuchtenden Hilfssatz voraus: sind irgend zwei Mengen M und N äquivalent, so können sie (im allgemeinen auf viele Weisen) so in gegenseitig eindeutige und vollständige Zuordnung gebracht werden, daß bei dieser Zurodnung einem beliebig vorgegebenen Elemente m von M ein ebenso beliebig gewähltes Element n von N entspricht.
Und nun wird zum Beweise des in Rede stehenden Satzes ein vollständiges Induktionsverfahren eingeleitet.
Man setze eine Menge M voraus, welche keinem ihrer Bestandteile äquivalent ist; ich will zeigen, daß alsdann auch die aus M durch Hinzufügung eines neuen Elementes l hervorgehende Menge M + l dieselbe Eigenschaft hat,  mit keinem ihrer Bestandteile äquivalent zu sein. Sei N irgendein Bestandteil von M + l, so kann er zwei Fälle darbieten. 1) Es gehört das Element l mit zu N, so daß N = N'  + l. N' ist dann offenbar auch Bestandteil von M. Wäre nun N ~ M + l, so könnte nach obigem Hilfssatze zwischen den Mengen  N und M + l  eine solche gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz hergestellt werden, daß das Element  l von N dem Element l von M + l entspricht; durch diese Zuordnung würde auch eine Zuordnung zwischen N' nd M hergestellt sein und es wäre M seinem Bestandteil N' äquivalent, gegen unsere Voraussetzung. 2) Es gehört l nicht mit zu N; dann ist N nicht nur Bestandteil von M + l sondern auch von M. Wäre in diesem Falle N ~ M + l, so nehme man irgendeine gegenseitig eindeutige vollständige Zuordnung der beiden Mengen M + l und N und es möge bei derselben dem Elemente l von M + l das Element n vonN entsprechen. Ist N =N' + n, so wäre durch diese Zuordnung auch eine gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz zwischen N' und M hergestellt, was, da auch hier N' Bestandteil von M ist, gegen die gemachte Voraussetzung streitet, wonach M keinem ihrer Bestandteile äquivalent ist.
[Cantor's collected works p. 415]
Regards, WM