Re: Simple enough for every reader?

On 28.06.2025 11:56, Mikko wrote:

On 2025-06-27 19:36:41 +0000, WM said:
 

On 27.06.2025 09:33, Mikko wrote:

On 2025-06-26 13:09:32 +0000, WM said:

>

>
If we subtract in the order that is used for enumerating then a last one is necessary.

>
No, there is no last one in an infinete enumeration.

>
Then it is not finished or completed.

 No, but it can be continued.

That is potential infinity. But Cantor claimed complete enumeration.

 

The word "infinite"
originally meant "having no end".

>
That is true. But if infinite sets are complete, then they are infinite only because the end is not visible.

 There is no mathematical meaning of "complete" that could be applied
to a set.

The notion set can only be applied to complete sets. i.e., sets which cannot be continued.

 

We can remove all odd numbers from the
natural numbers, leaving the even numbers, but there is no last number
removed.

>
Then not all are removed. All completely, never ending and in order implies a contradiction.

 All are removed when all are removed.

When done in natural order, then a last one is to be removed before all are removed. ℕ \ {1, 2, 3, ...} = { }. This cannot be accomplished by any definable natural number because
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| =/= 0.

Being completed is not a mathematical concept. An infinite sequence just
is infinite.

1.1 Cantor's original German terminology on infinite sets
The reader fluent in German may be interested in the subtleties of Cantor's terminology on actual infinity the finer distinctions of which are not easy to express in English. While Cantor early used "vollständig" and "vollendet" to express "complete" and "finished", the term "fertig", expressing "finished" too but being also somewhat reminiscent of "ready", for the first time appeared in a letter to Hilbert of 26 Sep 1897, where all its appearances had later been added to the letter.
But Cantor already knew that there are incomplete, i.e., potentially infinite sets like the set of all cardinal numbers. He called them "absolutely infinite". The details of this enigmatic notion are explained in section 1.2 (see also section 4.1. – Unfortunately it has turned out impossible to strictly separate Cantor's mathematical and religious arguments.)
1.1.1 Vollständig
"Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]
"gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz" [Cantor, p. 238]
"Die sämtlichen Punkte l unsrer Menge L sind also in gegenseitig eindeutige und vollständige Beziehung zu sämtlichen Punkten f der Menge F gebracht," [Cantor, p. 241]
"Zwei wohlgeordnete Mengen M und N heissen von gleichem Typus oder auch von gleicher Anzahl, wenn sie sich gegenseitig eindeutig und vollständig unter beidseitiger Wahrung der Rangfolge ihrer Elemente auf einander beziehen, abbilden lassen;" [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]
"Zwei bestimmte Mengen M und M1 nennen wir äquivalent (in Zeichen: M ~ M1), wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig, gegenseitig eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuzuordnen." [Cantor, p. 412]
"doch gibt es immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze, durch welche zwei äquivalente Mengen in gegenseitig eindeutige und vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können." [Cantor, p. 413]
"eine solche gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz hergestellt [...] irgendeine gegenseitig eindeutige und vollständige Zuordnung der beiden Mengen [...] auch eine gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz" [Cantor, p. 415]
"Zwei n-fach geordnete Mengen M und N werden 'ähnlich' genannt, wenn es möglich ist, sie gegenseitig eindeutig und vollständig, Element für Element, einander so zuzuordnen," [Cantor, p. 424]
1.1.2 Vollendet
"Zu dem Gedanken, das Unendlichgroße [...] auch in der bestimmten Form des Vollendet-unendlichen mathematisch durch Zahlen zu fixieren, bin ich fast wider meinen Willen, weil im Gegensatz zu mir wertgewordenen Traditionen, durch den Verlauf vieljähriger wissenschaftlicher Bemühungen und Versuche logisch gezwungen worden," [Cantor, p. 175]
"In den 'Grundlagen' formulire ich denselben Protest, indem ich an verschiedenen Stellen mich gegen die Verwechslung des Uneigentlich-unendlichen (so nenne ich das veränderliche Endliche) mit dem Eigentlich-unendlichen (so nenne ich das bestimmte, das vollendete Unendliche, oder auch das Transfinite, Überendliche) ausspreche. Das Irrthümliche in jener Gauss'schen Stelle besteht darin, dass er sagt, das Vollendetunendliche könne nicht Gegenstand mathematischer Betrachtungen werden; dieser Irrthum hängt mit dem andern Irrthum zusammen, dass er [...] das Vollendetunendliche mit dem Absoluten, Göttlichen identificirt, [...] Das Vollendetunendliche findet sich allerdings in gewissem Sinne in den Zahlen ,  + 1, ..., , ...; sie sind Zeichen für gewisse Modi des Vollendetunendlichen und weil das Vollendetunendliche in verschiedenen, von einander mit der äussersten Schärfe durch den sogenannten 'endlichen, menschlichen Verstand' unterscheidbaren Modificationen auftreten kann, so sieht man hieraus deutlich wie weit man vom Absoluten entfernt ist, obgleich man das Vollendetunendliche sehr wohl fassen und sogar mathematisch auffassen kann." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]
"da nun jeder Typus auch im letzteren Falle etwas in sich Bestimmtes, vollendetes ist, so gilt ein gleiches von der zu ihm gehörigen Zahl. [...] 'Eigentlichunendlichem = Transfinitum = Vollendetunendlichem = Unendlichseiendem = kategorematice infinitum' [...] dieser Unterschied ändert aber nichts daran, daß  als ebenso bestimmt und vollendet anzusehen ist, wie 2," [G. Cantor, letter to K. Laßwitz (15 Feb 1884). Cantor, p. 395]
"Wir wollen nun zu einer genaueren Untersuchung der perfekten Mengen übergehen. Da jede solche Punktmenge gewissermaßen in sich begrenzt, abgeschlossen und vollendet ist, so zeichnen sich die perfekten Mengen vor allen anderen Gebilden durch besondere Eigenschaften aus." [Cantor, p. 236]
1.1.3 Fertig
"Die Totalität aller Alefs ist nämlich eine solche, welche nicht als eine bestimmte, wohldefinirte fertige Menge aufgefaßt werden kann. [...] 'Wenn eine bestimmte wohldefinirte fertige Menge eine Cardinalzahl haben würde, die mit keinem der Alefs zusammenfiele, so müßte sie Theilmengen enthalten, deren Cardinalzahl irgend ein Alef ist, oder mit anderen Worten, die Menge müßte die Totalität aller Alefs in sich tragen.' Daraus ist leicht zu folgern, daß unter der eben genannten Voraussetzung (einer best. Menge, deren Cardinalzahl kein Alef wäre) auch die Totalität aller Alefs als eine best. wohldefinirte fertige Menge aufgefaßt werden könnte." [G. Cantor, letter to D. Hilbert (26 Sep 1897)]
"In meinen Untersuchungen habe ich, allgemein gesprochen, 'fertige Mengen' im Auge und verstehe darunter solche, bei denen die Zusammenfassung aller Elemente zu einem Ganzen, zu einem Ding für sich möglich ist, so daß eine 'fertige M.' eventuell selbst als Element einer andern Menge gedacht werden kann. [...] Derartige Mengen, die die Bedingung 'fertig' nicht erfüllen, nenne ich 'absolut unendliche' Mengen.
Nehmen wir einmal an, es könnten alle Alefs coexistieren, so führt uns dies zu einem Widerspruch. Denn alsdann würden alle Alefs, wenn wir sie nach ihrer Größe geordnet denken, eine wohlgeordnete, fertige Menge M bilden. Mit jeder wohlgeordneten fertigen Menge M von Alefs ist aber nach dem Bildungsgesetz der Alefs ein bestimmtes Alef gegeben, welches der Größe nach auf alle Individuen von M nächstfolgt.
Hier hätten wir also den Widerspruch eines Alefs, das größer wäre als alle Alefs, folglich auch größer als es selbst. Ich schließe also, daß alle Alefs nicht coexistent sind, nicht zu einem 'Ding für sich' zusammengefasst werden können, daß sie mit anderen Worten keine 'fertige Menge' bilden.
Der Widerspruch erscheint mir so, als wenn wir von einer 'endlichen Zahl' sprechen wollten, die größer wäre als 'alle endlichen Zahlen'. Nur ist hier der Unterschied, daß alle endlichen Zahlen eine fertige Menge bilden, die nach oben von der kleinsten transfiniten Cardinalzahl 0 gewissermaßen begrenzt wird. Die absolute Grenzenlosigkeit der Menge aller Alefs erscheint als Grund der Unmöglichkeit, sie zu einem Ding für sich zusammenzufassen.
In dem von Ihnen vorgetragenen Beispiele wird aber die Menge aller Alefs als eine 'fertige M.' vorausgesetzt und damit löst und erklärt sich der Widerspruch, auf den Sie durch Anwendung von Sätzen geführt werden, die nur für fertige Mengen bewiesen und gültig sind." [G. Cantor, letter to D. Hilbert (6 Oct 1898)]
"Aus der Definition: 'Unter einer fertigen Menge verstehe man jede Vielheit, bei welcher alle Elemente ohne Widerspruch als zusammenseiend und daher als ein Ding für sich gedacht werden können.' ergeben sich mancherlei Sätze, unter Anderm diese:
I 'Ist M eine fert. Menge, so ist auch jede Theilmenge von M eine fert. Menge.'
II 'Substituirt man in einer fert. M. an Stelle der Elemente fertige Mengen, so ist die hieraus resultirende Vielheit eine fertige M.'
III 'Ist von zwei aequivalenten Vielheiten die eine eine fert. M., so ist es auch die andere.'
IV 'Die Vielheit aller Theilmengen einer fertigen Menge M ist eine fertige Menge.' Denn alle Theilmengen von M sind 'zusammen' in M enthalten; der Umstand, daß sie sich theilweise decken, schadet hieran nichts.
Daß die 'abzählbaren' Vielheiten {} fertige Mengen sind, scheint mir ein axiomatisch sicherer Satz zu sein, auf welchem die ganze Functionentheorie beruht. Dagegen scheint mir der Satz 'Das Linearcontinuum ist eine fertige Menge' ein beweisbarer Satz zu sein und zwar so: Das Linearcont. ist aequivalent der Menge S = {f()} wo f() die Werthe 0 oder 1 haben kann. [...] Ich behaupte also S ist eine 'fertige Menge'. [...] Nach Satz IV ist aber die Vielheit aller Theilmengen von {} eine fertige Menge; dasselbe gilt also nach Satz III auch für S und für das Linearcontinuum.
Ebenso dürfte das Prädicat 'fertig' für die Mengen 1, 2, ... beweisbar sein." [G. Cantor, letter to D. Hilbert (10 Oct 1898)]
"Unter Bezugnahme auf mein Schreiben v. 10ten, stellt sich bei genauerer Erwägung heraus, daß der Beweis des Satzes IV keineswegs so leicht geht. Der Umstand, daß die Elemente der 'Vielheit aller Theilmengen einer fertigen Menge' sich theilweise decken, macht ihn illusorisch. In die Definition der fert. Menge wird die Voraussetzung des Getrenntseins resp. Unabhängigseins der Elemente als wesentlich aufzunehmen sein." [G. Cantor, letter to D. Hilbert (12 Oct 1898)]
"Ich habe mich jetzt daran gewöhnt, das was ich früher 'fertig' genannt, durch den Ausdruck 'consistent' zu ersetzen;" [G. Cantor, letter to D. Hilbert (9 May 1899)]
"Die Totalität der Alefs lässt sich nicht als eine bestimmte fertige Menge auffassen." [G. Cantor, letter to A. Schönflies via D. Hilbert (28 Jun 1899)]
"Eine Vielheit kann nämlich so beschaffen sein, daß die Annahme eines 'Zusammenseins' aller ihrer Elemente auf einen Widerspruch führt, so daß es unmöglich ist, die Vielheit als eine Einheit, als 'ein fertiges Ding' aufzufassen. Solche Vielheiten nenne ich absolut unendliche oder inkonsistente Vielheiten." [G. Cantor, letter to R. Dedekind (3 Aug 1899)]
"Zu Elementen einer Vielheit, können nur fertige Dinge genommen werden, nur Mengen, nicht aber inconsistente Vielheiten, in deren Wesen es liegt, daß sie nie als fertig und actuell existirend gedacht werden kann." [G. Cantor, letter to P. Jourdain (9 Jul 1904)]
"'Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von ... zu einem Ganzen', worin doch liegt, daß Vielheiten, denen das Gepräge des fertigen Ganzen oder der Dinglichkeit nicht nachgesagt werden kann, nicht als 'Mengen' im eigentlichen Sinne des Wortes anzusehen sind." [G. Cantor, letter to G. Chisholm-Young (9 Mar 1907)]

< But they can be sutracted

from the set of real numbers and the result is the set of rational
numbers.

>

That can be done collectively only.

>
Doesn't matter.

 

That is very important because these things are confused very often.

 Confusions are best avoided by not using non-mathematical words and using
mathematical words only in their mathematical meanings.
 

ZFC has one word for the meaning of completeness: set.
Regards, WM