Re: Division of two complex numbers

Am 21.01.2025 um 01:24 schrieb Moebius:

Am 21.01.2025 um 00:50 schrieb Tom Bola:

Am 21.01.2025 00:25:01 Moebius schrieb:

Am 21.01.2025 um 00:08 schrieb Tom Bola:

Du hattest den Unsinn
"By the binominal formulas we have: (a, b)^2 = a^2 + 2ab + b^2"
geschrieben. Korrekt wäre:
"By the binominal formula we have: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2"
Das wäre zwar richtig, aber hier irrelevant. Though this would be correct, it's immaterial here. (See below.)

https://www.math.kit.edu/iana2/~mandel/seite/schnupperkurs/media/ komplex.pdf

>
Gutes pdf.
>
Da steht:
>
"Der Division liegt die _dritte Binomische Formel_ (a + b)(a − b) = a^2 - b^2 zugrunde."

>
Ja, mir ging es ganz allein um ...

 Ja, ja. Verstehst Du auch, warum es da heißt: "Der Division liegt die _dritte Binomische Formel_ (a + b)(a − b) = a^2 - b^2 zugrunde"?
 Kannst Du das mal etwas genauer ausführen/zeigen?

Falls nicht. Es geht hier darum:
z1/z2 = (z1 . z2*)/(z2 . z2*) = (z1 . z2*)/((x + iy) . (x - iy)), wenn z2 = x + iy =/= 0 ist. Und HIER kommt nun -bei (x + iy) . (x - iy)-tatsächlich die "dritte Binomische Formel" zum Einsatz.*) Demnach ist:
           (x + iy) . (x - iy) = x^2 - (iy)^2 ,
also
           (x + iy) . (x - iy) = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2 .
Damit haben wir:
           z1/z2 =(z1 . z2*)/(x^2 + y^2)    (mit z2 = x + iy =/= 0) .
Siehe dazu auch: https://nemoweb.net/jntp?EAsBh7E4-FgqHBbEPrgfaV9LEbI@jntp/Data.Media:1
bzw. (ausführlicher): https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Complex_conjugate,_absolute_value,_argument_and_division
Aber auch hier muss man natürlich wissen, wie zwei komplexe Zahlen zu multipliziere sind. (Außerdem muss man wissen, dass (u + iv)/r = u/r + iv/r ist für r e IR\{0}.)
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*) Hinweis: (a + b)(a − b) = a^2 - b^2 unterscheidet sich schon erheblich von (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Außerdem macht "(a, b)^2 = a^2 + 2ab + b^2" nach wie vor keinen Sinn. Das ist schon Mückenheim-Preis-verdächtig!