Re: Does the number of nines increase?

Am 08.07.2024 um 15:58 schrieb WM:
 > Le 08/07/2024 à 04:35, Moebius a écrit :
 >> In Bezug auf NUF ist es so, dass NUF(0) = 0 ist und NUF(x) = aleph_0 für alle x e IR, x > 0.
 >
 > That is
korrekt.
Nochmal:
 >> Es gibt also keinen spezifische Punkt, wo NUF "sich von 0 auf aleph_0 ändert", weil es solche Punkte gar nicht gibt.
Allerdings gilt: NUF(0) = 0 und NUF(x) = aleph_0 für alle x e IR, x > 0.
Hier ein paar Hinweise dazu:
(1) In der MENGENLEHRE gilt, dass die Menge aller natürlichen Zahlen, IN, (abzählbar) unendlich ist und damit auch die Menge aller Kehrwerte dieser Zahlen {1/n : n e IN}, also der Stammbrüche.
Beweis: Die Funktion f: IN --> {1/n : n e IN}, die durch f(n) = 1/n für alle n e IN definiert ist, ist eine Bijektion von IN auf {1/n : n e IN}.
Es gilt also insbesondere |{1/n : n e IN}| = |IN| = aleph_0.
(2) Wie man leicht zeigen kann, gilt für jedes x e IR, x > 0: es gibt (nur) endliche viele Stammbrüche, die größer-gleich x sind.
(3) Daraus folgt trivialerweise für jedes x e IR, x > 0: es gibt (abzählbar) unendlich viele Stammbrüche, die kleiner-gleich x sind.
(4) Es gilt also IN DER MENGENLEHRE für alle x e IR, x > 0: |{m e {1/n : n e IN} : m <= x}| = aleph_0.
(5) Mit der Definition NUF(x) := |{m e {1/n : n e IN} : m <= x}| folgt also für alle x e IR, x > 0: NUF(x) = aleph_0.
WIE SCHWER KANN ES SEIN, DIESE EINFACHEN ZUSAMMENHÄNGE ZU VERSTEHEN, MÜCKENHEIM?