Sujet : Re: Replacement of Cardinality
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Groupes : sci.mathDate : 19. Aug 2024, 12:51:23
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Le 18/08/2024 à 10:16, joes a écrit :
Am Sat, 17 Aug 2024 13:39:52 +0000 schrieb WM:
There we see that counting down to 0 requires dark numbers.
Counting down from infinity is not possible.
Then also counting up from 0 to infinity. But Cantor claims it:
"If we think the numbers p/q in such an order [...] then every number p/q comes at an absolutely fixed position of a simple infinite sequence." "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." "[...] so we get the epitome (ω) of all real algebraic numbers [...] and with respect to this order we can talk about the th algebraic number where not a single one of this epitome () is forgotten." "[...] such that every element of the set stands at a definite position of this sequence." "Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede der Zahlen p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [26]
"Die so definirte unendliche Reihe hat nun das merkwürdige an sich, sämmtliche positiven rationalen Zahlen und jede von ihnen nur einmal an einer bestimmten Stelle zu enthalten." [27]
"[...] so erhält man den Inbegriff (ω) aller reellen algebraischen Zahlen [...] und kann mit Rücksicht auf diese Anordnung von der ten algebraischen Zahl reden, wobei keine einzige aus dem Inbegriffe (ω) vergessen ist." [28]
"[...] so daß jedes Element der Menge an einer bestimmten Stelle dieser Reihe steht" [29]
Your "dark" numbers
are a nonstandard extension.
If Cantor is right, then dark numbers are necessary - for counting up and counting down.
Regards, WM