Re: How many different unit fractions are lessorequal than all unit fractions?

Am 28.09.2024 um 22:28 schrieb Moebius:

@Mückenheim: Ax > 0: NUF(x) = aleph_0 besagt GENAU, dass für jedes x e IR mit x > 0 _abzählbar unendlich_ viele Stammbrüche in (0, x) enthalten sind. Und das ist auch richtig (denn es ist so).
 Der Umstand, dass trivialerweise An e IN: 1/n - 1/(n + 1) > 0 gilt, tut dem keinen Abbruch; auch wenn Du zu doof und zu blöde bist, um das zu verstehen.

Hinweis: Die Distanz 1/n - 1/(n + 1) nimmt mit wachsendem n "monoton" ab. Tatsächlich ist (1/n - 1/(n + 1))_(n e IN) eine Nullfolge. Es gilt sogar:
        SUM_(n=1..oo) 1/n - 1/(n + 1) = 1 .
D. h. (abzählbar) unendlich viele Stammbrüche haben in [0, 1] Platz. (Was ja eigentlich _schon von vorneherein_ klar ist, da trivialerweise für alle n e IN: 0 < 1/n <= 1 sowie 1/(n + 1) < 1/n gilt.)
Hinweis: SUM_(n=1..k) 1/n - 1/(n + 1) < 1 für k = 1, 2, 3, ...