Re: How many different unit fractions are lessorequal than all unit fractions?

On 06.10.2024 14:01, joes wrote:

Am Sun, 06 Oct 2024 12:32:16 +0200 schrieb WM:

On 06.10.2024 11:49, Moebius wrote:

Am 06.10.2024 um 10:40 schrieb WM:

On 06.10.2024 05:35, Moebius wrote:

Am 05.10.2024 um 22:38 schrieb WM:

On 05.10.2024 22:13, Moebius wrote:

Am 05.10.2024 um 22:01 schrieb WM:
>
ω/2 * 2 e IN,

Nein.

Doch, weil IN gegenüber der Multiplikation ABGESCHLOSSEN ist. (Das
kannst Du sogar in deinem Bestseller nachlesen, falls Du es
inzwischen vergessen haben solltest.) Mit ω/2 e IN wäre auch ω/2 * 2
e IN (weil 2 e IN ist).

Das gilt für

die Menge IN (und deren Elemente), wie schon gesagt.
In Zeichen: An,m e IN: n * m e IN.

Komisch auch, dass ω/2*2 (ist die Reihenfolge wichtig?)

Nein.

nicht in N ist,
obwohl ω/2 es ja sein soll.

Ist auch so. Siehe hier:

 

{1, 2, 3, ..., ω}*2 = {2, 4, 6, ..., ω*2} mit ω oder ω+1 mittendrin.

Wenn Du es sagst
Leider kann man sich in der Mathematik /die Ergebnisse/ nicht
aussuchen.

Aber man kann die offensichtlich falschen zurückweisen. Dazu gehört,
dass bei Multiplikation mit 2 die Realität der Menge halbiert wird.

Korrektheit hat nichts mit Ästhetik zu tun.
Was ist diese „Realität”?

Realität ist, dass es mehr ganze als gerade Zahlen gibt, weil jede gerade ganz, aber nicht jede ganze gerade ist.

Dass G zu N gleichmächtig ist, mit der
Bijektion n->2n?

Ist Unsinn.

 

es bleiben nach wie vor |ℕ| Zahlen,

DAS ist wiederum richtig! :-)
Hint: card(IN) = card(G).

Das wiederum gilt nur für das potentiell Unendliche. Im aktual
Unendlichen ist Card Unsinn.

Und doch hast du keine Alternative geboten

Doch, s. unten.

(außer, dass jede Menge
ihre eigene Kardinalität hätte).

Das ist doch auch richtig (wobei man besser von Anzahl sprechen sollte).
14.1 Comparing infinite sets by size
It is strange that blatantly false results like the equinumerosity of prime numbers and algebraic numbers could capture mathematics and stay there for over a century. But by what meaningful mathematics can we replace Cantor's wrong cardinality results?
Not all infinite sets can be compared by size, but we can establish some useful rules.
 The rule of subset proves that every proper subset has fewer elements than its superset. So there are more natural numbers than prime numbers, |N| > |P|, and more complex numbers than real numbers, |C| > |R|.  Even finitely many exceptions from the subset-relation are admitted for infinite subsets. Therefore there are more odd numbers than prime numbers |O| > |P|.
 The rule of construction yields the numbers of integers |Z| = 2|N| + 1 and the number of fractions |Q| = 2|N|^2 + 1 (there are fewer rational numbers Q# ). Since all products of rational numbers with an irrational number are irrational, there are many more irrational numbers than rational numbers |X| > |Q#|.
 The rule of symmetry yields precisely the same number of real geometric points  in every interval (n, n+1] and with at most a small error same number of odd numbers and of even numbers in every finite interval and in the whole real line.
This theory makes the number of natural numbers (and of course of other sets too) depending on the numerical representation. The set {1, 11, 111, ...} of natural numbers has only comparatively few elements. Therefore the set of natural numbers in unary or binary notation has fewer, in hexadecimal notation more than |N| elements. The set {10, 20, 30, ...} has |N|/10 elements, but if the zeros are only applied as decoration, this set, like the set {1', 2', 3', ...}, has |N| elements. It will be a matter of future research to investigate the effect of different numerical systems in detail.
Gruß, WM