Re: How many different unit fractions are lessorequal than all unit fractions? (infinitary)

On 13.10.2024 10:34, Moebius wrote:

Am 13.10.2024 um 00:44 schrieb joes:

Am Thu, 10 Oct 2024 20:12:56 +0200 schrieb WM:

 

It is claimed that all endsegments are infinite [...]
[and that they] have an empty intersection.

 

Yes, and what do you claim?
>

[...] not all endsegments are infinit[e].

Well, they are.
 Satz: ALLE Endsegmente sind unendlich.
 Beweis: Ein /Endsegment/ ist definiert als das Komplement eines endlichen Anfangsabschnitts (der natürlichen Zahlen) bezüglich IN.
D. h. E ist ein Endsegment genau dann, wenn es einen endlichen Anfangsabschnitt A gibt mit E = IN \ A. Daraus ergibt sich sofort, dass ALLE Endsegmente unendlich sind, weil IN unendlich ist und jeder endliche (sic!) Anfangsabschnitt endlich ist.

Die Anfangsabschitte können als die Zahlen dienen. Daraus ergibt sich sofort, dass zu allen Zahlen unendlich viele größere Zahlen existiere.

 Moreover, Satz: Der Schnitt über ALLE Endsegmente ist leer.
 Beweis: Angenommen es ist nicht so. Dann müsste es eine natürliche Zahl geben, die in allen Endsegmenten enthalten ist. Sei WM so eine Zahl. WM ist aber nicht im Endsegment IN \ {n e IN : n <= WM} enthalten.

Aber unendlich viele Zahlen, die größer sind, sind in allen unendlichen Endsegmenten ethalten.
Gruß, WM