Re: Incompleteness of Cantor's enumeration of the rational numbers (extra-ordinary)

Am 05.01.2025 um 18:35 schrieb Alan Mackenzie:

WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> wrote: <nonsense>

The union of all FISONs _is_ N.

The plain fact is that the set of FISONs is infinite

Just posted in d.s.m:
Satz:

The set of FISONs

ist abzählbar unendlich.
Beweis:
Es gibt eine Bijektion zwischen n e IN und der Menge aller FISONs {A(n) : n e IN} [mit A(n) := {m e IN : m < n} (n e IN)]. Nämlich die Abbildung f: IN --> {A(n) : n e IN}, die durch f(n) = A(n) für alle n e IN, definiert ist. f ist trivialerweise surjektiv. Die Injektivität von f ergibt sich aus f(n1) = A(n1) = {m e IN : m < n1} c_echt {m e IN : m < n2} = A(n2) = f(2) für n1,n2 e IN mit n1 < n2. Denn daraus folgt f(n1) =/= f(2) für n1 =/= n2.
Wir haben also IN ~ {A(n) : n e IN} gezeigt.
Daraus folgt card(IN) = card({A(n) : n e IN}) und mit card(IN) = aleph_0 schließlich card({A(n) : n e IN}) = aleph_0. qed
Wenn wir schon dabei sind:
Satz: U{A(k) : k e IN} = IN.
Beweis: Für alle n e IN ist n e A(n+1). D. h. für alle n e IN gibt es ein k e IN mit n e A(k). Also gilt für alle n e IN: n e U{A(k) : k e IN}. D. h. IN c U{A(k) : k e IN}. Da aber (wegen An e IN: A(n) c IN) auch U{A(k) : k e IN} c IN ist, gilt U{A(k) : k e IN} = IN. qed
Hinweis@Mückenheim: „Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.“ (R. Dedekind)
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