Re: Incompleteness of Cantor's enumeration of the rational numbers (extra-ordinary)

Am 13.01.2025 um 21:55 schrieb Chris M. Thomasson:

On 1/13/2025 9:17 AM, WM wrote:

doubling of all natural numbers creates numbers larger than ω.

Idiotic nonsense.

No. Double all of the natural numbers:
 {1*2, 2*2, 3*2, 4*2, ...} = {2, 4, 6, 8, ...} .
 All of those results are natural numbers. They were already there...

Indeed. (At least in the context of classical mathematics/set theory.)
Using symols:
          An e IN: n*2 e IN .   (*)
Now, by definition (of ω):
          An e IN: n < ω .
Hence (with (*)):
          An e IN: n*2 < ω .
That's why WM's claim "doubling of all natural numbers [results in] numbers larger than ω" is idiotic nonsense. For this -as you can see- we do not even have to consider "numbers larger than ω".
A simple diagram might be helpful (except for WM):
          1 < 1*2 < 3 < 2*2 < 5 < 3*2 < 7 < ... < ω .

ω is first infiniteᵒʳᵈ.
No infiniteᵒʳᵈ is before ω
No finiteᵒʳᵈ is after ω

Indeed!

distances in ⦅0,ω⦆ multiplied by 2 remain regular distances in ⦅0,ω⦆, not.in ⟦ω,2ω⦆

I guess, this should read: "not.in ⟦ω,ω2⦆".

Doubling of all n deletes the odd numbers

Mückenheim, Du redest wieder mal saudummen Scheißdreck daher. Nichts wird "deleted", Du Depp.
Die Menge G = {n*2 e IN : n e IN} ist einfach eine (echte) Teilmenge der natürlichen Zahlen, die (per definitionem) genau die sog. /geraden (natürlichen) Zahlen/ enthält.

but cannot change the number of numbers,

Das wiederum ist richtig. Es gilt nämlich (wegen IN ~ G):
              |IN| = |G|
bzw.
              card(IN) = card(G) .

therefore creates even numbers.

Nö, die werden nicht "created", Du Depp, sondern lediglich mit Hilfe des sog. Aussonderungsaxioms aus der Menge der natürlichen Zahlen, IN, "ausgesondert": D. h. die waren vorher schon da und in IN enthalten (Hint: G c IN.)
Das "Aussonderungsaxiom" sichert die Existenz der Menge G = {n*2 e IN : n e IN}.

They do not fit below ω

Doch das tun sie, weil sie als natürliche Zahlen natürlich (sic!) kleiner als ω sind.
Hint:         1 < 1*2 < 3 < 2*2 < 5 < 3*2 < 7 < ... < ω .

Remember: [no ordinal number] fits between them and ω.

In der Tat: ~Eo e ORD: An e IN: n*2 < o < ω .
.
.
.