Re: The set of necessary FISONs

On 25.02.2025 16:31, joes wrote:
The set of FISONs does not change.
It is the set of definaed natural numbers. It depends on the systemlike the set of known prime numbers.

 

I state that induction does not produce actual infinity.

Whatever. Induction does not include infinity, although it does
prove infinitely many formulas containing finite numbers, but
not the one formula saying "all". It is not that strong.

Then consider only the natural numbers which are subject to induction.

I remove by induction all natural numbers. What of ℕ remains in your
opinion?

You cannot remove a non-natural number of elements, such as all of them.

Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind herrührenden Axioms. ... Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, daß jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht ... Die Menge Z_0 enthält die Elemente 0, {0}, {{0}}, usw. und möge als "Zahlenreihe" bezeichnet werden, ...  Sie bildet das einfachste Beispiel einer "abzählbar unendlichen" Menge. [E. Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Mathematische Annalen (1908), S. 266]

The other way around: the number of finite elements is infinite.
Anyway, no infinite element is produced.

Right. Zermelo produces all finite elements, no infinite element. So do I. That is the set.
  Regards, WM