Re: The set of necessary FISONs

On 10.03.2025 23:44, Moebius wrote:

 

WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> wrote:

 

ℕ \ F(1), and if [for any n e ℕ] ℕ \ F(1) \ F(2) \ F(3) \ ... \ F(n) = ℵo
then ℕ \ F(1) \ F(2) \ F(3) \ ... \ F(n+1) = ℵo.

 Daraus kann man "per Induktion" folgern:
      An e IN:  ℕ \ F(1) \ F(2) \ F(3) \ ... \ F(n)  = ℵo.

No, there is no restriction. Induction shows that also F(n+1) is included.Theref is no FISON remaining.

 Daraus folgt aber NICHT:
      ℕ \ F(1) \ F(2) \ F(3) \ ... = ℵo.

Zermelo has produced the infinite set Z and from that the infinite set Z₀ by induction. He has not stopped at any n. Therefore your statement shows ignorance of these facts. It is wrong.
Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind herrührenden Axioms. ... Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, daß jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht ... Die Menge Z_0 enthält die Elemente 0, {0}, {{0}}, usw. und möge als "Zahlenreihe" bezeichnet werden, ...  Sie bildet das einfachste Beispiel einer "abzählbar unendlichen" Menge. [E. Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Mathematische Annalen (1908), S. 266]
Unbegreiflich für Dich? Trotzdem die einzige verlässliche Methode, unendliche Mengen induktiv zu konstruieren.
Regards, WM