Re: Replacement of Cardinality

Am 12.08.2024 um 19:44 schrieb Jim Burns:

On 8/12/2024 9:50 AM, WM wrote:

Le 11/08/2024 à 19:56, Jim Burns a écrit :

∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) > 0 (*) [WM]
>

∀n ∈ ℕ: 1/n > 1/(n+1) > 0 (**) [JB]

>
If 1/(n+1) exists. [WM]

Mückenheim, wenn Du meinst, dass das eine Voraussetzung für (**) ist, dann ist es doch auch eine für (*). Warum hast Du das VORHER nicht dazu gesagt? Du redest wirklich nur saudummen Scheißdreck daher, Mückenheim.
In der Mathematik ist es so:
Es gibt das allgemein akzeptierte Peano-Axiom:
       An e IN: s(n) e IN.
Daraus folgt zusammen mit der Definition
       n+1 =df s(n)    (n e IN)
sofort:
       An e IN: s+1 e IN.
Und daraus natürlich:
       An e IN: Em e IN: m = n+1 .
       "Mückensprech: (for each and every n in IN) n+1 exists and is an element in IN."
Mit der (üblichen) Definition
       n < m =df Ek e IN: n+k = m
ergibt sich zusammen mit dem ebenfalls allgemein akzeptierte Peano-Axiom:
       1 e IN
auch
       An e IN: n+1 e IN & n < n+1 .
Daraus folgt dann im Kontext der rationalen Zahlen (Q):
       An e IN: 1/(n+1) < 1/n .
Man kann natürlich ebenso gut beweisen:
       An e IN: Eq,q' e Q: q = 1/n & q' = 1/(n+1) & q' < q ,
oder auch nur:
       An e IN: Eq e Q: q = 1/(n+1) & q < 1/n .
       "Mückensprech: (for each and every n in IN) 1/(n+1) exists and is an element in Q."
Was genau verstehst Du daran nicht?
Also ja:

∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) > 0

asserts 1/(n+1) exists, '∀n ∈ ℕ'
along with asserting other things.

Right.
Wie schon ZIG mal erwähnt, Mückenheim: Wenn 1/(n+1) nicht für jedes n e IN definiert wäre (also existieren würde), dann dürftest Du es in einer einschlägigen Behauptung wie
        ∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) > 0
gar nicht verwenden, Depp.
"Ebensogut" könntest Du behaupten:
        ∀x ∈ IR: |1/x| >= 0 .   (***)
Nur ist 1/x für x = 0 nicht definiert, daher ist der Ausdruck (***) als Behauptung nicht zulässig (da 0 e IR ist).
Um aber zum eigentlichen Thema zurück zu kommen:

Each positive unit fraction is not
the first positive unit fraction. >
What causes an exception: nₓ ∈ ℕ:
⅟nₓ > 0 without ⅟(nₓ+1) > 0 ?

>
The end of the positive axis.

Nö. Natürlich nicht. Denn es gilt: An e IN: 0 < 1/(n+1) < 1/n.
Dass also die "positive axis" bei 0 "aufhört", ist KEIN Problem.

There is no ⅟nₓ before the end of the positive axis
without ⅟(nₓ+1) before the end of the positive axis.
 ⎛ Assume otherwise.
⎜ Assume ⅟nₓ > 0 ≥ ⅟(nₓ+1)
⎜
⎜ nₓ⋅⅟nₓ = 1
⎜ ⅟nₓ > 0  ∧  1 > 0  ⇒  nₓ > 0
⎜ nₓ > 0  ⇒  nₓ+1 > 0
⎜ (nₓ+1)⋅⅟(nₓ+1) = 1
⎜ nₓ+1 > 0  ∧  1 > 0  ⇒  ⅟(nₓ+1) > 0
⎝ Contradiction.
 There is no exception to not.being the lower end.

Jep. Außer in Mückenheims Wahnwelt. :-)