Re: Replacement of Cardinality

Am 04.08.2024 um 22:16 schrieb Jim Burns:

On 8/4/2024 2:13 PM, WM wrote:

 

[...] two claims which are
not both true or both false:

 

For every x there is u < x.
There is u < x for every x.

 BEIDE Aussagen werden selbstverständlich wie folgt formalisiert:
     ∀x ∃u u < x .
 Vermutlich ist hier aber eigentlich

     ∀x > 0: ∃u ∈ ⅟ℕ: u < x   (*)
 gemeint.
 

The latter is close to [...]:
There are NUF(x) [u ∈ ⅟ℕ:] u < x.

 Letzteres formalisiert man wie folgt:
     ∃^NUF(x) u ∈ ⅟ℕ: u < x .
 Hier fehlt noch der Allquantor für x, um eine WAHRE AUSSAGE zu erhalten:
     ∀x > 0: ∃^NUF(x) u ∈ ⅟ℕ: u < x .
 Mit ∀x > 0: NUF(x) = ℵ₀ ergibt sich dann daraus:
     ∀x > 0: ∃^ℵ₀ u ∈ ⅟ℕ: u < x .
 Ja, diese Formel ist in der Tat "close to" (*). Nur besagt sie natürlich noch etwas mehr als (*).