Sujet : Re: Replacement of Cardinality
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Groupes : sci.logic sci.mathDate : 05. Aug 2024, 20:12:17
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Le 04/08/2024 à 22:48, Moebius a écrit :
Am 04.08.2024 um 22:16 schrieb Jim Burns:
On 8/4/2024 2:13 PM, WM wrote:
[...] two claims which are
not both true or both false:
For every x there is u < x.
There is u < x for every x.
BEIDE Aussagen werden selbstverständlich wie folgt formalisiert:
∀x ∃u u < x .
Vermutlich ist hier aber eigentlich
∀x > 0: ∃u ∈ ⅟ℕ: u < x (*)
gemeint.
The latter is close to [...]:
There are NUF(x) [u ∈ ⅟ℕ:] u < x.
Letzteres formalisiert man wie folgt:
∃^NUF(x) u ∈ ⅟ℕ: u < x .
Hier fehlt noch der Allquantor für x, um eine WAHRE AUSSAGE zu erhalten:
∀x > 0: ∃^NUF(x) u ∈ ⅟ℕ: u < x .
Mit ∀x > 0: NUF(x) = ℵ₀ ergibt sich dann daraus:
∀x > 0: ∃^ℵ₀ u ∈ ⅟ℕ: u < x .
Ja, diese Formel ist in der Tat "close to" (*). Nur besagt sie natürlich noch etwas mehr als (*).